17. Поліном над полем. Нсд двох поліномів і алгебра Евкліда

Якщо всі коефіц. многочлена є числами поля Р, то Р(х) наз поліномом над полем Р.

Озн. Сукупність всіх многочленів над полем Р є областю цілісності з 1 відносно операцій +,* многочленів.

Озн. Областю цілісності К з 1 наз. Евклідовим кільцем, якщо існує відображення множини відмінної від 0 елемента цієї області множини цілих невід’ємних чисел яка задовольняє таку умову: для будь-якого елемента, в К існують такі елементи , що має місце рівність

Теор. Довільний многочлен ділиться з остачею на будь-який многочлен при цьому частка і остача також многочлен, що належ. кільцю P[x] визначається однозначно:

Озн. Якщо многочлен є дільником многочлена то наз. спільним дільником

Озн. Спільний дільник який ділиться на кожен інший спільний дільник цих многочленів наз. НСД цих многочленів

Алгебра Евкліда

Нехай є P[x], ( - степінь) . За Т.1

якщо то бо будь-який многочлен ділиться на многочлен нульового степеня над полем, легко показати, що - НСД. Нехай - спільний дільник тому тому - НСД.

Теор. Остача відмінна від 0 остача Алгебри Евкліда є НСД многочленів

Теор. Для будь-якої множини є P[x] існує НСД причому його можна подати у вигляді - деякі многочлен з кільця.

Наслідок. Многочлени є P[x] взаємно прості тоді і тільки тоді коли існують многочлен є P[x], такі, що

18. Розклад полінома у добуток незвідних многочленів і його єдність.

Озн. Многоч f(x) із кільця многоч. P[x] наз. незвідним у полі P, якщо deg f≥1, якщо sp f(x)=g(x)•S(x)=> або deg g(x)=0 або deg S(x)=0 де g(x), S(x) є P[x].

Озн. Многоч. f(x) із кільця многоч P[x] наз. звідним у полі P[x], коли deg f(x)≥1, коли існує g(x) I S(x)єP[x] що має місце рівність f(x)=g(x)•S(x) причому deg g(x)≥1 i deg S(x)≥1

Властивості незвідних множників:

1. ЯкщоP(x) – незв. у даному полі многоч. а f(x)- доб многоч над цим полем то або f(x) i P(x) або вони двоє взаэмнопрості.

1. Дов. Позн НСД f i p через d: (f;p)=d, d(x)єP(x), тоді P(x) .^:d(x), p(x)=d(x)•S(x), S(x)єP(x). Якщо многочлен незвідний в P[x],то мног.с* P[x]-незвідний в цьому полі, с-конст.

2. Якщо многочлен P[x]незвідний в Р, а многочлен f(x)- довільний многочлен з цього поля, то або мног. f(x)/ P(x), або (f(x), P(x))=1.

3. Якщо незвідний в деякому полі мног. P(x) на інший незвідний в цьому полі мног., то ці мног. Збіг. З точністю до сталого множника.

4. Якщо добуток мног. (f(x)*P(x)) P[x] то прийнамі один із множників ділиться на цей многочлен.

Озн. Оск. P(x) –незв. то один із співун. d(x) або S(x) многоч deg d=0 d(x)~1, (f;p)=1 degS=0, S(x) ~1, (f; p)=p=>f.^:p

Теор. Кожний многоч f(x) із кільц многоч над полем P, якщо degf ≥1, розклад в добуток незвідн многочленів.

Дов. :1. n=1,deg f=1, теорема справедлива

2. припустимо, що теорема справедлива при n=k

3. Розгул. коли deg f(x) = k+1.Можливі два випадки:

а. f(x) – незвідний (теор. викон)

б. якщо f(x) –зв. то за озн , його можна подати у вигляді f(x)=g(x)S(x), deg g(x)≥1, deg S(x)≥1 (за означенням), deg g(x)≤k+1, deg S(x) ≤k+1

1≤deg g(x)≤k, 1≤deg S(x)≤k

а згідно припущення будь-який многоч. f(x) i g(x) можна представити як добуток незв. множників.

ІІ єдність дов. від супрот.

Теор. Кожен многоч. , розкладається в добуток незвідних многочленів, якщо сам незвідний, то вказаний добуток склад. з одного множника, якщо ж звідний то може бути представлений у вигляді добутку многочленів меншого степеня.

Теор. Якщо многочл. двома способами розкласти в добуток незвідних многочл. тобто і при відповідній нумерації має місце рівність

Наслідок. Довільний многочлен ненульового степеня над полем Р можна єдиним способом з точністю до самих множників і номерацій подати у вигляді:

попарно різні незвідні у полі Р многочлен.