15. Застосування теорії порівнянь до вивчення ознак подільності цілих чисел.

Суть ознак подільності зводиться до того, що що розгляд подільності деякого числа на нат. число змінюється розглядом подільності на число іншого меншого за нат. числа , яке можна знайти за деяким правелом, що визначається числовою ф-єю, . При цьому числа є рівноподільними на число . Одним із таких способів є спосіб Паскаля, який використовує конгруентність цих чисел. Нехай деяке нат. число в системі числення має вигляд . Позначемо через остачу від ділення на число . і побудуємо число за таким правелом: . На основі властивості конгруенції легко встановити, що . Звідси маємо таку ознаку подільності. Якщо то . Виведення ознаки подільності на 4. Нехай цифри (від 0 до 9) . Очевидно, що

Тоді . За ознакою Паскаля коли або .

Ознаки подільності.

Якщо - десяткова система числення то:

1) число , якщо остання цифра парна;

2) число , якщо остання цифра 0, або 5;

3) число , якщо сума його цифр ;

4) число , якщо сума його цифр ;

5) число , якщо воно і ;

6) число , якщо воно складене з двох останніх цифр на ;

7) число , якщо воно складене з двох останніх цифр 25;

8) число , якщо цифр, що стоїть на парних місцях мінус цифр, що стоїть на непарних місцях. Ця різниця .

16. Перетворення звич. Др. В десятковий і визначення довжини періоду дробу.

Теор. Звич. нескор. дріб а/b перетвор. в скінч. дес.. дріб <=> коли каноніч розклад знаменника не містить простих множників відмінних від 2 і 5.

Дов. І) b=2^α•5^β, β≥0. Познач γ=max(β;α), а/b= (а/2^α•5^β)•(2 ^γ-α •5 ^γ-β/2 ^γ-α •5 ^γ-β)= (a•2^γ-α •5 ^γ-β)/( 2^γ-α •5 ^γ-β)=(a/10^γ)(2 ^γ-α •5 ^γ-β)

II)a/b=N,g_1, g₂ ….. g_γ – скін. дес.. дріб

g₁ .... g_γ - ціле число, a/b=N + (g₁₊ ....₊g_γ)/10^γ=N+(g₁₊ ....₊g_γ)/(2γ•5γ)

Теор. Якщо a/b – нескор. дріб і числа (b,10)=1, то цей дріб перетворюється у чистий періодичний десятк. дріб, число цифер в періоді дробу δ, де δ-показник до якого належить число 10 за mod b(δ=P_b(10)), 10^δ≡1(b).

Дов. Нех. a<b, (a,b)=1; 10a=bg₁+r_1, 0<r₁<b, 0≤ g₁<10; 10r₁=bg₂+ r_2, 0< r₂<b, 0< g₂<b, 0<g₂<10

10r₂=bg₃+r_3, ………. 10r_m-1=bg_m+r_m, 0<r_m<b,

10r_m=bg_m+1+r_m+1, … 0,g….g_m, g_m+1

Всі остачі 0<r₁…<r_m+1. Всі (ri, b)=1. Оск.(a,b)=1 i (10,b)=1=>(b,10a)=1=>(r₁,b)=1.

Всі r_і – елем. зведеної системи лишків. Але ЗСЛ за модулем b може мати лише φ(b) елементів, тому наступить момент коли одна з остач буде = а. не. це буде r_m=а, якщо тільки r_m=а, тоді з m+1 рівності ми одерж. що r_m+1= r₁, a g_m+1= g_2, a/b=0, g_1….g_m. Для дов. теореми залишається показати що перше повторення настане після δ ділень, де δ – показник до якого належить число 10 за модулем b. Дійсно, якщо δ – найм. показник, то має місце 10^δ≡1(b), візьмемо r<b, (r,b)=1, 10^δ•r≡r(b)

Якщо до числа r приписати справа δ нулів, то це відповідає визначенню δ послідовних цифр частки. При діленні a на b (a,b)=1. Ми аналогічно дістанемо через δ ділень остачу, яка буде = а.

Заув. З конгуренції 10^δ≡1(b)=> що 99...9≡0(b) =>, що δ можна знайти так: 9.^:b, якщо ділення не відбудеться, то 99.^:b поки ділення не відбудеться. Кількість дев’яток у числі при якому ділення відбудеться δ.

Теор. Якщо a/b нескор. дріб і b=2 ^α •5 ^βb₁, де (b₁,10)=1, то цей дріб перетв. у міш. період. дес.. дріб, число цифр у періоді дробу = δ, де δ=Pb₁(10); число цифр до періоду = γ, де γ=max(α,β).

Теор. Щоб перетворити чистий період. дріб у звич. потрібно період. дробу зробити чисельником, а в знаменнику записати стільки 9, скільки цифр в періоді, знайдений дріб додати до цілої частини.

Теор. Щоб перетворити мішаний періодичний дріб у звичайний треба від числа, що стоїть між комою і першим періодом і цю різницю зробити чисельником, у знаменнику треба записати стільки 9, скільки цифр в періоді.