13. Повна і зведена система лишків. Теорема Ейлера і Ферма.

Озн. повною системою лишків по модулю наз. сукупність чисел, яка містить по одному і тільки одному представникові з кожного класу еквівалентності (0,1,2,…, ).

Теор. Нехай - цілі числа , якщо пробігає повну с-му лишків.

Озн. Зведеною с-тимою лишків по наз. сукупність цілих чисел, яка містить точно по одному представникові з класу лишків взаємно простих з .

Теор. сукупгність чисел взаємапростих з і і не зрівняних по є зведеною системою лишків.

Теор. Якщо число взаємно просте з і і зведена система лишків по , то числа - також зведена система лишків. - число додатних чисел, які .

Озн. Ф-єю Ейлера будемо називати ф-ю, яка визначена на множині чисел, значеннями якої є к-сть не від’ємних чисел менших за і взаємно-простих з .

Теор. Ейлера. Якщо , то перебуває у відношенні порівняння з . - ф-я Ейлера.

Дов. - зведена система лишків, тоді зведеною системою лишків буде . Тому матиме місце таке порівняння: . Оскільки кожне з чисел взаємно-просте з то після скорочення останбого прівняння ми одержимо справедливе порівняння

Теор. Ферма. Якщо не ділиться на просте число , то

Теор. Ферма (частковий випадок Теор. Ейлера при простому модулі. Інакше формулювання теореми Ферма): При і при простому :

14. Лінійні порівняння з однією змінною.

Озн. Конгруенцією з одним невідомим за модулем наз. конгруенція виду:

де в лівій частині міститься многочлен з цілими коефіцієнтами, якщо не ділиться на , то - степінь многочленна .

розв’язком цієї конгруенції є таке ціле число , що задовольняє цю конгруенцію . Розв’язком буде весь клас .

Розв’язком конгруенції наз. клас лишків за модулем , кожне число якого задовольняє цю конгруенцію.

Конгруенції наз. рівними, якщо множини їх розв’язків співпадають.

Відмітимо операції, що не порушують множину розв’язків конгруенції.

1) додавання до обох частин конгруенції деякого многочленна з цілими коефіцієнтами.

2) додавання до однієї частин конгруенції числа кратного модулю.

3) множення обох частин конгруенції, на число, яке взаємо просте з модулем.

4) множення обох частин конгруенції і модуля на теж саме число додатне.

Теор.1. Якщо і взаємно прості, то конгруенція має єдиний розв’язок.

Дов. Якщо пробігає повну систему лишків, тоді вираз також пробігає повну систему лишків. При цьому один раз ця лінійна форма прийме числове значення, яке конгруентне нулю. Нехай - це буде при , тобто , тоді клас і буде єдиним розв’язком конгруенції.

Теор.2. Якщо і мають спільний дільник і число , то конгруенція розв’язків не моє.

Дов.Припустимо супротивне, тобто нехай при деякому , . . Припущення невірне, тобто розв’язків не має.

Теор.3. Якщо і мають НСД= і , то конгруенція має розв’язків. і нехай тобто . (2) . За теоремою 1 конгруенція (2) має один розв’язок, тобто клас лишків . А цей клас розпадається на класів лишків за модулем .

Способи розв’язання конгруенцій.

1) підставлення в конгруенцію повної системи лишків(ПСЛ). ПСЛ

2) зведення конгруенції першого степеня до рівносильної конгруенції з коефіцієнтами при . ; ; .

_{3) способи Ейлера. Нехай дано} , . До множимо на . .