11. Базис і розмірність скінченновимірного векторного простору. Підпростори. Лінійні многовиди. Ізоморфізми векторних просторів.

Кожна оболонка лінійної системи векторів є векторним простором. Тому виникає питання про перенесення поняття базису із системи векторів на простір.

Озн. Лінійно незалежна система векторів наз. базисом векторного простору L, якщо будь який вектор з простору L є лінійеою комбінацією системи векторів.

Озн. Базисом скінченновимірного векторного простору наз. непорожня лінійно незалежна його підсистема, яка еквівалентна всій системі.

Озн. Векторні простори, задані над одним і тим же полем Р наз. ізоморфними, якщо між елементами і можна встановити взаємно однозначну відповідність .

Теор. Два скінченновимірні векторні простори над полем Р ізоморфні тоді і тільки тоді, якщо вони мають однакову розмірність.

Дов. Н: При ізоморфізмі базис переходить вбазис, а базиси мають однакову розмірність, то L і мають однакову розмірність.

Д: Нехай L і простори над полем Р. Вибарамо в них по базису L: (1), : . в базисі L має координати , . Ця відповідність є однозначною. Дійсно однозначно виражається своїми координатами в одному базисі, тому і однозначно виражається своїми координатами через і навпаки. Тоді .

Озн. Розмірністю ненульового скінченного векторного ростору наз. число векторів в якому небудь його базисі. Dim v=n, dim(0)=0.

Озн. Непорожня множина векторного простору L є підростором цього ростору, якщо вона сама є лінійним простором відносно операцій, визначених у просторі L.

Теор. Для того, щоб непорожня множина векторного простору L була підпростором, необхідно, щоб вона була замкнена відносно операцій «+» і «*» на скаляр .

Озн. Нехай підпростір векторного простору L і . Множина векторів виду , де наз. лінійним многовидом простору L.

Лінійний многовид не утворює векторного простору, бо він не замкнений відносно операції «+». Кожен лінійний підпростір є лінійним многовидом, але не навпаки. Якщо , то лінійний многовид буде підпростором.

Теор. Розмірність підпростору векторного простору не більша ніж розмірність простору.

Озн. Множина розв’язків системи n лінійних рівнянь з n невідомими утворює підпростір n- вимірного лінійного векторного простору.

12 Основні властивості конруенції в кільці цілих чисел за даним модулем.

Припустимо, і будемо розглядати цілі числа у зв’язку з остачами від ділення їх на це нат. Число , яке наз. модулем. Згідно з теоремою про ділення з остачею кожному числу буде відповідати певна остача , яка одержана в результаті ділення числа на . . Якщо двом цілим числам відповідає одна і таж сама остача від ділення їх на число , то вони називаються конгруентними за модулем . .

1) Числа називаються конгруентними за модулем , якщо остача їх при ділені на число орівні між собою. .

2) Числа називаються конгруентними за модулем , якщо їх різниця ділиться на .

3) Числа називаються конгруентними за модулем , якщо має місце .

Теор. дані три означення конгруентності еквівалентні. .

Дов. Нехай сприведливе (1) .

Нехай .

Основні властивості конгруєнції.

1) Для конгруенцій справджуються такі закони рефлексивністі, транзетивності, симетричності.

1. 2.

3. .

1. 2. .

3.

.

2) Конгруенції за одним і тимже модулем можна почлено додавати, віднімати і множити.

.

Насл.1. До обох частин конгруенції можна додати одне і теж число.

Насл.2. До однієї частини конгруенції можна додати вираз кратний модулю

Насл.3. Обидві частини конгруенції можна множити на одне і теж число.

Насл.4. Обидві частини конгруенції можна піднести до степення.

Насл.5. З однієї частини конгруенції до другої можна перенести доданок з протилежним знаком.

3) Обидві частини конгруенції можна поділити на іх спільний дільнак, якщо він взаємно простий з модулем.

4) Обидві частини конгруенції і модуль можна множити на одне і теж число.

5) Обидві частини конгруенції і модуль можна скоротити на їх СД.

6) Якщо конгруенція має місце за кількома модулями, то вона має місце і за модулем, який = НСК цього модуля.

7) Якщо - многочлен з цілими коефіцієнтами і і , то .

8)Числа конгруентні між собою за модулем мають з ним один і той же НСД.