8. Векторний простір. Приклади і найпростіші властивості векторного простору. Підпростір.

Озн. Непорожня множина L наз. лінійним або векторним простором на числовим полем Р, якщо в множині L визн. операції додавання і множення на скаляр, причому виконуються такі властивості:

1. Операція + комутативна;

2. Операція + асоціативна;

3. в множині L нейтральний елемент відносно операції додавання;

4. для кожного елемента з множини L в L симетричний елемент

5. 

6. 1х=х

7. 

8. .

Приклади: 1. Нехай Р=С, L=С (система компл. чисел).Враховуючи властив. поля компл. чисел легко переконатись, що мн. L при цьому буде векторним простором, його наз. компл. векторним простором компл. чисел.

2. Нехай Р=R, L=С. Множина компл. чисел над полем дійсних чисел утв. Вект. Простір над дійсним векторним простором компл. чисел.

3. P=R, L=R— дійсна множина векторного простору дійсних чисел,

4. P=R, L=Rⁿ. Введемо в множину L операції + і * на скаляр. , .

Ми показали, що множина L із так введеними операціями утв. дійсний векторний простір. Його наз. n — вимірним векторним простором..

Озн. Непорожня підмножина мн. L векторного простору L наз. підпростором простору L , якщо вона сама є векторним простором відносно операцій означених в просторі.

Приклад: Дійсний векторний простір дійсних чисел є лінійним підпростором дійсного векторного простору компл. чисел.

Теор. Для того, щоб підмножина була підпростором, достатньо, щоб вона була замкнута відносно + і * вектора на скаляр, тобто:

Дов.: Нехай деяка непорожня підмножина L векторного просторуL замкнута відносно операцій + і * вектора на скаляр. Покажемо, що виконуються умови 1-8 з означення векторного простору. Нехай , тоді , покажемо, що . Якщо , а , то , включається в L, тоді В множині L опервція + комутативна, тоді ю Що й треба було показати. Асоціативність дов. аналогічно.

Покажемо, що нейтральний елемент . З другої властивості одержуємо . Аналогічно .

9.Лінійна залежність і незалежність системи векторів. Базис і ранг скінченної системи векторів.

Озн. Під системою векторів розуміють деяку множину векторів.

Система векторів векторного простору М над полем Р наз. лінійно залежною, якщо в полі Р існують скаляри не всі рівні 0, такі що .

Озн. Система векторів буде наз. лінійно незалежною, якщо рівність можлива при всіх α=0. Поржні множини векторів — лінійно незалежні.

Властивості системи векторів:

1. Якщо система векторів містить нуль вектор, то вона лінійно залежна.

Дов.: Система векторів , тоді . Якщо , то знайдеться набір чисел не всіх рівних 0,лінійна комбінація при якому дає нуль вектор θ.

2. Якщо система векторів лінійно незалежна та система векторів лінійно залежна, то вектор y можна подати у вигляді лінійної комбінації векторів лише єдиним способом.

Дов.:Так як система векторів є лінійно залежною, то існують скаляри із поля Р не всі рівні нулю. Такі що . Покажемо що саме скаляр . Якби то -лінійно залежна система, що суперечить умові, тоді .

3. Якщо система векторів є лінійно залежною, то хоча б один вектор є лінійною комбінацією інших.

Дов.: За озн. існують скаляри , що і хоча б один скаляр не дор. 0. Нехай , то .

4. Будь яка підсистема лінійно незалежних векторів є теж лінійно незалежною.

Озн. Лінійно незалежна система векторів наз. базисом простору , якщо будь який вектор простору є лінійною комбінацією векторів .

Озн. Рангом системи векторів наз. число векторів, які входять у який небудь базис системи.

Теор. У просторі , що має розмірність n, кожна лін. незал. система векторів з n векторів є базисом.

Теор. Якщо в вектотрному просторі є базис, що складається з n векторів, то простір L має розмірність n.

Н. Кожен базис n вимірного простору складається з n векторів.

Теор. В n – вимірному векторному просторі будь які лінійно незалежні системи векторів можна доповнити до базису цього простору.

Теор. Якщо кожний вектор лінійно незалежної системи (1) є лінійною комбінацією векторів (2) , то m < n

Д-ння:1) Побудуємо систему векторів (*). За умовою кожен вектор системи (1) зокрема, вектор лінійно виражається через (2), а тому система (*) лінійно залежна. За властивістю 3 в системі (*) деякий вектор , де 1≤і≤n лінійно виражається через попередні вектори, а тому і через вектори системи (**) одержаної з (*) викиданням вектора . Отже кожний вектор системи (1) лінійно виражається через вектори (**)

2) Використовуючи ті самі міркування, що і в 1) до системи векторів(1) і (**) , та враховуючи , що сис. векторів лінійно незалежна , одержимо систему векторів

, чез які лінійно виражаються всі вектори сис. (1) . Якщо припустити, що m>n , то продовжуючи цей процесс , через т кроків вичерпаємо всі вектори (2) і одержимо систему (***), таку що кожний вектор системи (1) зокрема , лінійно виражається через вектори системи (***). Тоді система(1) виявляється лінійно залежною, що протирічить умові . Залишається прийняти m≤n. Теорему доведеною.

10.Наслідок системи лінійних рівнянь. Рівносильність системи лінійних рівнянь. Критерій сумісності системи лінійних рівнянь. Розв’язування системи лінійних рівнянь методом послідовного виключення невідомих.

Якщо будь яке розв’язання однієї системи рівнянь є розв’язком іншої системи, то другу систему називають наслідком першої і позначають . Якщо система (1) є наслідком (2) , а (2) є наслідком (1), то такі системи наз. рівносильними і позначають (1) ~ (2). До елементарних перетворень системи рівнянь відносять такі:

1. домноження будь якого рівняння системи рівнянь на число ≠ 0.

2. додавання (віднімання) до будь якого рівняння системи інших рівнянь, домножених на будь яке число.

3. Виключення з системи або приєднання до системи довільної кількості рівнянь з нулевим коефіцієнтом і нулевим вільним членом.

Теор. Якщо система (2) отримується з системи (1) в результаті виконання ланцюжка перетворень 1-3, то такі системи рівносильні.

Теор. (критерій Кронекера- Капелі): Для того, щоб система лінійних рівнянь була сумісною, необхідно і досить, щоб ранг основної і розширеної матриць співпадали.

Дов.: Н: Нехай задана система лінійних рівнянь , яка має розв’зок, тобто є сумісною. Тоді існує набір чисел що має місце векторна рівність , яка виражає векторну форму системи лінійних рівнянь. Дане векторне рівняння означає, що вектор b належить лінійній оболонці системи векторів стовпців . Тоді 2 системи векторів (1) і (2) еквівалентні, а значить ці системи мають однаковий ранг. Ранг першої системи = стовпцевому рангу головної матриці, а отже і рангу матриці А. Ранг другої системи = стовпцевому рангу розширеної матриці, тобто рангу матриці В. Отже ранг головної і розширеної матриці співпадають.

Д: Нехай ранг головної і розширеної матриці співпадає. Тоді співпадають стовпцеві ранги. Отже базис першої системи буде базисом другої системи і вектор b в цей базис не входить, тому вектор b можна подати у вигляді лінійної комбінації базису першої системи. Якщо до цієї комбінації додати нуль, помножений на всі інші вектори, що не входять в базис першої системи, то звідси побачимо, що вектор b можна подати у вигляді лінійної комбінації векторів . А це означає, що векторна форма системи лінійних рівнянь має розв’язок. Т. доведена.