5. Поле. П-ди полів. Найпростіші властивості полів. Поле рац. Чисел.

Озн. Алгеброю назив. пара де , - мн., - м-на операцій заданих на м-ні .

Озн. Під полем розуміють алгебру , якщо виконуються властивості:

1. опер. «+» комутативний.

2. опер. «+» асоціативний

3. нейтральний елемент відносно опер. «+» належить мн.

4. Для ел. симетр. ел. -

5. «*» - комутативна.

6. «*» асоціативна

7. В мн. викон. опер. «÷» крім ділення на 0

8. Мн. належ. хоча б один елем. 0

9. Опер. «+» і «*» пов’язані дистр. законом.

П-ди: Q i R – числа. Мн. N i Z – поля не утв. мн. яка скл. з 2-ох елементів 0 і 1, утв. поле.

Озн. Підмнож. В поля Р наз. підполем поля Р якщо вона сама утв. поле.

Теор. числове поле містить підполе рац. чисел.

Дов. Задамо довільне числове поле. В ньому є елемент 0 (вл.8). виберемо один з них. Н-д a. Оскільки в полі виконується операція «÷» крім ділення на 0, , то є полем.

Припустимо, що деяке натур. число полю. Так як в полі викон. опер. «+» то і елем. полю. Тоді за Т мат. індукції поле містить мн-ну N.

За вл-стю (3) вона містить елем. 0, а за вл. (4) – для елемент числове поле включає мн-ну цілих чисел Z. рац. число можна подати у вигляді дробу , де числове поле в силу вл.7 містить всі дроби виду , де , які після скорочення подаються у вигляді . Оскільки числове поле містить всі рац. числа. Оск. сама пл-на чисел є числовим полем, то числове поле містить підполе рац. чисел.

6.Поля. Впорядковані поля. С-ма дійсних чисел.

Озн. М-на М наз. полем, якщо в ній введено дві операції «+» і «*» , тобто для і , які задов. вл-сті:

1. опер. «+» комутативний.

2. опер. «+» асоціативний

3. в мн. М нейтр. елем. відносно «+»

4.

5. «*» - комутативна.

6. «*» асоціативна

7. Ь – така, в якій елем.

8. в мн. М визнач. опер. «÷» крім на 0

9. опер. «+» і «*» пов’язані дистрибутивним законом

П-ди полів. Мн. рац. та дійсних чисел з визн. на них операц. «+» і «*».

Озн. Алг. структура наз. впорядкована ним відношенням «менше» якщо для елем. мн викон. такі умови:

1. або або або

2. , якщо і та

Озн. Впорядковане поле наз. системою раціональних чисел. якщо головна мн-на З співпадає з мн. рац. чисел.

Озн. Поле наз. впорядкованою системою дійсних чисел, якщо головна мн. R є мн. дійсних чисел.

Впорядковані поля - задані на впорядкованих системах.

впорядковані системи – система нат. чисел Z, R, Q.

7.Поле комплексеих чисел. Числові поля. Геометричне представлення комплексних чисел і дії над ними. Тригонометрична форма комплексного числа.

Озн. Множина М наз. полем, якщо в ній введено дві операції + і *, тобто a,b М, a*b М, a+b М, які задовільняють властивості:

1. a,b М: a+b=b+a;

2. a,b,c М: (a+b)+c=a+(b+c);

3. нейтральний елемент відносно +;

4. a М: -а: а+(-а)=0;

5. a,b М: ab=ba;

6. a,b,c М: (ab)c=a(bc);

7. хоча б один елемент ≠ 0;

8. В множині М визначена операція «÷» крім ÷ на 0;

9. a,b,c М: (a+b)c=aс+bc;

Позначимо через С множину всеможливих пар комплексних чисел. Введемо в С операції + і *: (a;b)+(c;d)=(a+c;b+d); (a;b)·(c;d)=(ac-bd;ad+bc). Легко переконатись, що так введена операція комутативна, асоціативна, дистрибутивна.

Доведемо дистрибутивність:

((a;b)+(c;d))(x;y)=(a+c;b+d)(x;y)=((a+c)x-(b+d)y; (a+c)y+(b+d)x)=(ax+cx-by-dy; ay+cy+bx+dx)=((ax-by)+(cx-dy);(ay+bx; cy+dx)=(a;b)(x;y)+(c;d)(x;y).

Нейтральним елементом відносно + буде пара (0;0). Симетричним елементом буде пара (-a;-b). Очевмдно, що пара (a;b) для якої буде відмінний від 0 елемент. Ми показали, що так введені операції + і * задовільняють властивості поля. Множина С наз. полем комплексних чисел.

Легко переконатись, що (0;1) є розв’язком рівняння : (0;1)²=(0;1)(0;1)=(0-1;0+0)=(-1;0)= -1. Позначимо (0;-1)=і, тоді пару (a;b) можна подати у вигляді (a;b)=(а;0)+(0;b)=а+bі. Запис комплексного числа у вигляді а+bі наз. алгебраїчною формою комплексного числа.

Озн. Підмножина Р поля Р наз. підполем, якщо вона сама утв. Поле.

Озн. підполе поля комплексних чисел наз числовим полем. Числові поля: множини, компл. числа, дійсні і рац числа.

Алгебраїчна форма комплексного числа a+bi

Кожному компл. числу на коорд. площині відповідає т.(a;b). Цю точку можна задати в полярних координатах: — це тригонометрична форма комплнксного числа. -модуль; — аргумент; Re(z)=a- дійсна, Im(z)=b- уявна частина.

; ,

Властивості компл. чисел: 1. a+ib=c+id : a=c, b=d. 2.(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d). 3.(a+bi)-(c+di)=(a-c)-i(b+d). 4. (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.

5. .6. . 7. . 8. . 9. . 10. .