3,Гомоморфізм і ізоморфізм груп і кілець.

Озн. Відображення f групи Г в групу наз. гомоморфізмом, якщо воно задов. умовам.

Озн. Групи наз. ізоморфними, якщо відображення , яке задов. умовам: 1)f бієктивне: -сюр’єктивне. .2)

Озн. Відображення f кільця К в наз. гомоморфізмом, якщо воно зберігає операції кілець, тобто: .

Озн. Якщо гомоморфне відображення є бієктивним, то його наз. ізоморфізмом. Всякий кільцевий гомоморфізм є гомоморфізмом адитивної групи К в адитивну групу . Тому він задов. власт. групових гомоморф. .

1) 2) 3) Якщо в К існує одиничний елемент і f є епіморфізмом кільця К в деяке , то в теж існує одиничний елемент : .

Дов.: Епіморфізм, це коли f є сюр’єктивним. Покажемо, що в роль одиничного елем. відігр. . Оск. f є сюр’єктивним, то ,

4) Якщо в К існує 1, в , є обл.. цілісності (не має дільників нуля), то .

Дов.: .

5) Якщо відображення є гомо морф., то сукупність усіх елементів групи Г, які відображення f переводять в один елемент групи , наз. ядром гомоморфізму:

Озн. Сукупність усіх елементів наз. областю значень або образом гомоморфізму: .

Озн. Ядром гомоморфізму наз. множина Образом гомоморфізму f наз. множина .

Теор. Якщо кільце ізоморфне множині , то структура утв. теж кільце.

Теор. Якщо група ізоморфна алгебраїчній структурі , то теж утв. групу.

Дов.: Перевірим виконання трьох аксіом груп для :

1) , f –сюр’єк.

2) В Г існує нейтральний елемент n: покажемо, що f(n)- нейтральний в : . .

3) - симетричний елемент.

Нехай - симетричний до а. Покажемо, що симетричне до :

і

4. Система нат. Ч. Принцип мат. Індукції.Аксіоми Пеано:

1. , яке не є наступним для жодного н. ч. Це число назв. одиницею і позн 1.

2. Для кожного н. ч. а одне і тільки одне н. ч. наступне для числа а.

3. Кожне н. ч. є наступним не більше як для одного н. ч.

4. Аксіома Мат. індукції: нехай М множ. н. ч., яка має такі властивості: 1) 1 ; 2) якщо н. ч. то й наступне число Тоді М належать всі н. ч. На цю аксіому спирається ММІ.

Щоб дов. справедливість н. ч. ММІ треба: 1) дов. що це твердження справедливе для n=1; 2) припустити справедливість даного твердження при n=k, доводити його справедливість для n=k+1.

Озн. Додаванням назв. бінарна операція на множ. н. ч., яка двом н. ч. а та в ставить у відповідність їх суму с=а+в. При цьому числа а та в назв. доданками.

Озн. Нехай а і в – н. ч.; А і В – скінчені множ., які не мають спільних елементів і потужність яких відповідно = а і в. Сумою чисел а і в назв. потужність множини Позначається а + в.

Властивості додавання н. ч.:

1. Комутативність:

2. Асоціативність:

3. Закон монотонного множення:

Озн. Добутком будь-якого н. ч. а та числа 1 назв. саме число а ; добутком н. ч. а на н. ч. в >1 назв. сума в – доданків, кожен з яких = а. Позначається .

Число а назв. множенням, в – множником. Це співмножники. Операція знаходження добутку за даними співмножниками називається множенням або дією множення.

Властивості:

1. Комутативність:

2. Асоціативність:

3. Закон монотонного додавання:

4. Дистрибутивність: (а+в)с=ас+вс

Дов. вл. 1. Добуток (ав)с є сума с –доданків, кожен з яких ав; але кожен з ав є сума в –доданків, кожен з яких = а (ав)с можна розглядати як суму вс доданків, кожен з яких = а. Але за озн. добутку ця сума є добутком а на вс, тобто а(вс). Отже (ав)с=а(вс).