Тема 7. Модели динамического программирования

Общая постановка задачи динамического программирования. Принцип оптимальности и уравнения Беллмана. Задача о распределении средств между предприятиями. Общая схема применения метода динамического программирования. Задача об оптимальном распределении ресурсов между отраслями на n – лет. Задача о замене оборудования.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 7.1. Планируется деятельность четырех промышленных предприятий (системы) на очередной год. Начальные средства: = 5 у.е. Размеры вложения в каждое предприятие кратны 1 у.е. Средства х, выделенные k-му предприятию (k = 1,2,3,4), приносят в конце года прибыль Функции заданы таблично. Принято считать, что:

1. Прибыль не зависит от вложения средств в другие предприятия.

2. Прибыль от каждого предприятия выражается в одних условных единицах.

3. Суммарная прибыль равна сумме прибылей, полученных от каждого предприятия.

Определить, какое количество средств нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль была наибольшей.

x
1	8	6	3	4
2	10	9	4	6
3	11	11	7	8
4	12	13	11	13
5	18	15	18	16

Задача 7.2. Планируется деятельность двух отраслей производства на n лет. Начальные ресурсы =10000 у.е. Средства х, вложенные в I отрасль в начале года, дают в конце года прибыль и возвращаются в размере <x; аналогично для II отрасли функция прибыли равна , а возврата - , причем <х. В конце года все возвращенные средства заново перераспределяются между I и II отраслями, новые средства не поступают, прибыль в производство не вкладывается.

Требуется распределить имеющиеся средства между двумя отраслями производства на четыре года так, чтобы суммарная прибыль от обеих отраслей за это время оказалась максимальной.

Необходимо: 1). Построить модель динамического программирования для этой задачи и вычислительную схему; 2). Решить задачу при условии, что =0,6х, =0,5х, =0,7х, =0,8х, n=4.

Задача 7.3. Оборудование эксплуатируется в течение 5 лет, после этого продается. В начале каждого года можно принять решение о сохранении оборудования или замене его новым. Стоимость нового оборудования руб. После t лет эксплуатации ( ) оборудование можно продать за g (t)= руб. (ликвидная стоимость). Затраты на содержание в течение года зависят от возраста t оборудования и равны r(t)=600(t+1). Определить оптимальную стратегию эксплуатации оборудования, чтобы суммарные затраты с учетом начальной покупки и заключительной продажи были минимальны.

Задача 7.4. Составить математическую модель, записать уравнения Беллмана и решить графически следующие задачи на определение оптимальных сроков замены оборудования. Даны: первоначальная стоимость оборудования , его ликвидная стоимость , стоимость содержания r(t)=0,1 в течение года оборудования возраста t лет, срок эксплуатации n=5, в конце которого оборудование продается. Критерий оптимальности – суммарные затраты на эксплуатацию оборудования в течение 5 лет с учетом первоначальной покупки и последующей продажи.

Задача 7.5. Найти оптимальное распределение средств между тремя предприятиями при условии, что прибыль f(x), полученная от каждого предприятия, является функцией от вложенных в него средств х. Вложения кратны , а функции f(x) заданы таблично.

х	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	5	9	12	14	15	18	20	24	27
	7	9	11	13	16	19	21	22	25
	6	10	13	15	16	18	21	22	25
=9, n=3, =1

Задача 7.6. Найти оптимальное распределение ресурсов =40000 у.е. между двумя отраслями производства в течение четырех лет, если даны функции доходов для каждой отрасли соответственно: = 0,4х, =0,3х. Возвращаются в размере =0,5х и =0,8х. В конце года все возвращенные средства заново перераспределяются между I и II отраслями, новые средства не поступают, прибыль в производство не вкладывается.

Построить модель динамического программирования этой задачи и вычислительную схему с учетом вышеизложенных условий.