Аксиомы вывода многозначных зависимостей

В 10-й лекции определены аксиомы вывода функциональных зависимостей.

Первые шесть аксиом вывода, приведенные ниже, являются аналогами одноименных аксиом для F-зависимостей, однако только первые три из них содержат похожие утверждения. Аксиома М7 не имеет аналога в F-зависимостях [14]. Пусть r – отношение со схемой R и W, X, Y, Z – подмножества R.

M1. Рефлексивность. Отношение r удовлетворяет Х→→Х.

М2. Пополнение. Если r удовлетворяет Х→→Y, то оно удовлетворяет XZ→→Y.

М3. Аддитивность. Если r удовлетворяет X→→Y и X→→Z, то оно Удовлетворяет X→→YZ.

М4. Проективность. Если r удовлетворяет X→→Y и X→→Z, то оно удовлетворяет X→→YZ и X→→Y-Z.

М5. Транзитивность. Если r удовлетворяет Х→→Y и Y→→Z, то r удовлетворяет X→→Z-Y.

М6. Псевдотранзитивность. Если r удовлетворяет X→→Y и YW→→Z, то r удовлетворяет XW→→Z-(YW).

М7. Дополнение. Если r удовлетворяет Х→→Y и Z = R – (XY), то г удовлетворяет X→→Z.

Система аксиом вывода M1–M7 для MV-зависимостей является полной [14].

Обратимся к следствиям, которые можно вывести из множества F- и MV-зависимостей. Для их комбинации существуют только две аксиомы.

Пусть r – отношение со схемой R; W, X, Y, Z – подмножества R.

С1. Копирование. Если r удовлетворяет X→Y, то r удовлетворяет X→→Y.

С2. Объединение. Если r удовлетворяет X→→Y и Z→W, где WY и YZ = , то r удовлетворяет Х→W.

Системы аксиом F1–F6, M1–М7, С1 и С2 для множеств F- и MV-зависимостей являются полными [14].

Четвертая нормальная форма

Известно, что каждое отношение r(R), удовлетворяющее MV-зависимости X→→Y, разлагается без потерь на отношения со схемами XY и XZ, где Z = R - (XY). Однако в случае если X→→Y – единственная зависимость в R, то R находится в ЗНФ. Таким образом, ЗНФ не определяет все возможные декомпозиции.

MV-зависимость Х→→Y называется тривиальной для произвольной схемы R, содержащей XY, если любое отношение r(R) удовлетворяет X→→Y [14].

MV-зависимость Х →→Y приложима к схеме R, если XYR.

Пусть F – множество F- и MV-зависимостей над U. Схема отношения RU находится в четвертой нормальной форме (4НФ) относительно F, если для каждой MV-зависимости X→→Y, выводимой из F и приложимой к R, либо MV-зависимость тривиальна, либо X является суперключом для Л [14].

Схема базы данных R находится в четвертой нормальной форме относительно F, если каждая входящая в нее схема отношения находится в четвертой нормальной форме относительно F.

Множество F из F-зависимостей и MV-зависимостей, аналогично тому как это делается для построения схем баз данных в ЗНФ, может быть использовано для построения декомпозиций схемы отношения R, находящихся в 4НФ. Для этого, начав с R, ищем выводимую из F нетривиальную MV-зависимость Х→→Y, для которой X не является ключом R. Далее R разлагаем на два отношения R₁=(Х, Y) и R₂=(X, Z), где Z=R-(XY). MV-зависимость X→→Y теперь тривиальна в R₁ и неприложима к R₂. Процесс декомпозиции повторяем для той из схем R₁ и R₂, которая не находится в 4НФ относительно F. Поскольку используемые MV-зависимости не являются тривиальными, обе возникающие реляционные схемы содержат меньше атрибутов, чем исходные. Таким образом, процесс декомпозиции неизбежно закончится.