Кинематика

^{_____________________________________________________________________________________________________}

Кинематика  раздел теоретической механики, в котором изучается механическое движение тел независимо от взаимодействия между ними (с геометрической точки зрения).

Под механическим движением понимают перемещение в пространстве и во времени одних тел относительно других. Те тела, относительно которых рассматривается движение, называются системами отсчета. С системой отсчета связывают систему координат, в которой рассматривают перемещение исследуемого материального тела или системы тел с течением времени. Начало отсчета времени выбирают произвольно.

Задать движение материального тела - это значит иметь возможность однозначно определить положение рассматриваемого материального тела и любой его точки относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени.

Вот почему мы начинаем изучение данного раздела с кинематики точки, а потом переходим к изучению кинематики твердого тела. Определения материальной точки как простейшей модели материального тела и абсолютно твердого, или просто твердого тела были даны в разделе Статика [ ].

Г л а в а 1

Кинематика точки

1. Способы задания движения точки

Кинематика точки  раздел кинематики, в котором изучается механическое движение материальной точки и основных ее кинематических характеристик: траектории движения точки, как геометрического места последовательных (с течением времени) положений точки в пространстве относительной выбранной системы отсчета; скорости и ускорения точки.

Существует несколько способов задания движения точки. Существенными среди них являются векторный, координатный и тректорный. Кинематические характеристики точки для трех случаев задания ее движения приведены в табл.1.

Все три способа взаимосвязаны, т.е. возможен переход от одного способа задания движения точки к другому.

1. Векторный способ задания движения точки

Для задания движения точки векторным способом необходимо выразить ее радиус - вектор в виде функции времени относительно выбранной системы отсчета из неподвижной точки О

, (1.1)

Функция предполагается непрерывной и дважды дифференцируемой.

Траекторию точки можно определить Рис.1.1 как годограф ее радиус- вектора

(рис.1.1), т.е. геометрическое место концов радиус-вектора , изменяющегося во времени согласно зависимости (1.1). Векторный способ задания движе ния точки в виду своей простоты в дальнейшем широко используется для определения кинематических характеристик и при дру-

гих способах задания ее движения.

2. Координатный способ задания движения точки

Для задания движения точки координатным способом необходимо ввести прямоугольную декартову систему координат, неизменно связанную с выбранной системой отсчета, с началом в точке O и осями OXYZ (рис. 1.2) и дать зависимости изменения координат точки в виде функций времени. Эти зависимости во всех далее рассматриваемых случаях предполагаются непрерывными и дважды дифференцируемыми и называются кинематическими уравнениями движения точки

, , (1.2)

Зависимости (1.2) одновременно являются и уравнениями траектории точки в параметрической форме, где параметром является время t.

Для получения уравнения траектории точки в каноническом виде, т.е. в форме непосредственной зависимости между координатами x, y,z, из системы уравний (1.2) необходимо исключить

Рис. 1.2 время t. В частном случае задания движения точки на плоскости OXY, например в виде уравнений движения x = a cos kt, y = b sin kt, z = 0, (параметрическое задание) уравнение траектотрии точки в канонической форме будет:

, - уравнение эллипса (координатные оси совпадают с осями эллипса), большая ось кото Рис. 1.3 рого АВ = 2а, малая ось СD = 2b , вершины

A, B, C, D (рис. 1.3). Следует также заметить, что траекторией точки может быть не вся кривая, описываемая (1.1.2), а только часть ее, соответствующая реализуемому процессу и времени t (время всегда положительно).

Между векторным и координатным способами задания движения точки существует следующая зависимость (рис.1.1). Проведем из начала декартовой системы координат радиус-вектор точки М и выразим его через координаты точки и орты , , этой системы координат, составляющие ее векторный базис. С учетом уравнений (1.2) имеем:

=  + + . (1.3)

Из (1.3) следует, что координаты точки есть проекции ее радиус-вектора на оси декартовой системы координат, т.е.

x =  , y =  , z =  . (1.4)