Лабораторная работа № 2. Средства автоматизации научно-исследовательских работ. Среда mathcad. Часть I.

Задание 1. Простые вычисления с использованием MathCad.

Задача. Найти ребро куба, равновеликого шару, площадь поверхности которого равна площади боковой поверхности прямого кругового конуса, у которого высота вдвое меньше, чем длина образующей. Объем этого конуса равен 1.

Математическая постановка. Основные формулы геометрии, используемые при расчете:

Объем конуса V=(1/3)r²h.

Площадь боковой поверхности конуса S=rl.

Соотношение в конусе между радиусом основания, высотой и длиной

образующей r²+l ²=h²

Площадь поверхности шара S=4r²

Объем шара V=(4/3)R³

Объем куба V= a³.

Инструкция по выполнению.

1. Запустите MathCad.

2. Откройте панель инструментов Calculator (Счет) щелчком на кнопке Calculator Toolbar (Панель инструментов Счет) на панели инструментов Math (Математика) или с помощью команды View > Toolbars > Calculator (Вид > Панели инструментов > Счет).

3. Для удобства расчета будем обозначать каждую из вычисляемых величин отдельной переменной. Объем конуса обозначим как V и присвоим ему значение 1. Оператор присваивания вводится символом « : » или кнопкой Definition (Присвоить значение) на панели инструментов Calculator (Счет). Вводим

V:=1

По окончании ввода нажмите [ ENTER ] или щелкните за пределами выде- ленного блока.

4. Радиус конуса вычисляется по формуле (см. Математическую постановку)

.

Вводить эту формулу следует слева направо. Порядок ввода:

• Вводим знак корня произвольной степени кнопкой Nth Root (Корень данной степени) на панели инструментов Calculator (Счет) или комбинацией клавиш CTRL+\

• Щелкните на черном квадратике, стоящем на месте показателя степени корня, и введите цифру 3.

• Щелкните на квадратике, замещающем подкоренное выражение, введите V*.

• Введите знак квадратного корня кнопкой Square Root (Квадратный корень) на панели инструментов Calculator или клавишей [ \ ], введите цифру 3. Прежде чем вводить знаменатель, дважды нажмите [ ПРОБЕЛ ].

• Обратите внимание на синий уголок, который указывает на текущее выражение. Предполагается, что знак операции связывает текущее выражение со следующим. В данном случае это безразлично, но вообще этот прием позволяет вводить сложные формулы, избегая ручной постановки скобок. Нажмите клавишу [ / ]. Чтобы ввести число , можно воспользоваться комбинацией клавиш [ CTRL ] + [ SHIFT ] + [ P ] или соответствующей кнопкой на панели инструментов Calculator (Счет). Ввод формулы для вычисления радиуса конуса закончен.

5. Введите формулы для вычисления длины образующей и площади боковой поверхности конуса:

Указание знака умножения между переменными обязательно, иначе MathCad сочтет, что указана одна переменная с именем из нескольких букв.

6. Введите формулу для вычисления радиуса шара .

7. Введите формулу для вычисления объема шара .

Использовать переменную V во второй раз не следует, поскольку теперь вычисляется совершенно другой объем.

8. Введите заключительную формулу , позволяющую получить окончательный вариант – длину ребра куба. После этого снова наберите имя переменной a и нажмите клавишу [ = ] или щелкните по кнопке Evaluate Numerically (Вычислить) на панели инструментов Calculator (Счет). После формулы появится знак равенства и вычисленный результат

a=0.7102

• Вычислять можно как действительные, так и комплексные выражения. В последнем случае обозначение мнимой единицы (i) следует вводить непосредственно после числового коэффициента, который нельзя опускать, даже если он равен 1:

Y=3+1i

9. Вернитесь к самому первому выражению (п. 3) и отредактируйте его. Вместо значения 1 присвойте переменной V значение 8. Сразу же перейдите к последней введенной формуле и обратите внимание, что результат расчета изменился в соответствии с новыми исходными данными.

• Мы познакомились с методикой простейших вычислений в MathCad. Описанная техника позволяет использовать MathCad для автоматизации расчета по известным формулам. Особенностью MathCad является возможность мгновенного пересчета с другими исходными данными.

Задание 2. Физические вычисления с использованием размерных величин

Задача. Теплоизолированный космический аппарат (рис. 2.1), находясь на околоземной орбите, имеет на борту приборы, суммарное тепловыделение P которых изменяется в ходе работы от P₁=75 Вт (дежурный режим) до P₂=200 Вт (сеанс связи). С целью обеспечения штатного теплового режима в теплоизоляции сделано отверстие площадью S₁, в которое попадает поток солнечной энергии W=1400 Вт/м². Отдаваемое аппаратом тепло излучается через это отверстие и второе отверстие в теплоизоляции площадью S₂. Считаем, что излучение происходит в режиме абсолютно черного тела. Каковы должны быть площади отверстий, если допустимый диапазон температур для оборудования, расположенного в аппарате, составляет 20–30°С?

Математическая постановка. Минимальная температура аппаратуры соответствует режиму минимального тепловыделения (75 Вт). В этом случае поступающая мощность . Излучаемая аппаратом мощность , где T₁ – минимально допустимая температура в Кельвинах (20+273=293 К). В условиях теплового баланса мощности Q₁ и Q₂ должны быть равны, т.е.

Режим максимального тепловыделения (200 Вт) соответствует максимальной температуре аппаратуры. Для этого режима тепловой баланс аппарата имеет вид , где T₂ – максимально допустимая температура в Кельвинах (30+273=303 К).

Рис. 2.1. Расчетная схема аппарата

Решая систему из двух последних уравнений относительно S₁ и S₂, получаем:

,

Инструкция по выполнению.

1. Запустите MathCad.

2. Введите значения известных величин, присвоив их переменным с соответствующими именами. Вместо нижних индексов используйте просто дополнительную цифру в названии переменной.

Единицы измерения физических величин присоединяются к соответствующим значениям через знак умножения. Если нужное значение неизвестно, используйте команду Insert > Unit (Вставка > Единица измерения). Измеряемая величина выбирается в списке Dimension (Размерность), а соответствующая единица измерения – в списке Unit (Единица измерения).

3. Присвойте переменной значение постоянной Стефана-Больцмана (5,67·10^-8 Вт/(м²К⁴)). Чтобы ввести греческую букву , используйте панель инструментов Greek или введите соответствующую латинскую букву (в данном случае “S”) и сразу же нажмите [ CTRL ] + [ G ]. Так как специальной единицы для этой величины не существует, нужно составить ее из стандартных единиц, используя знаки умножения и деления.

4. Введите полученные при математической постановке задачи формулы для вычисления площадей отверстий, присвоив полученные значения переменным S1 и S2.

3. Чтобы увидеть результаты вычислений, введите имя первой из рассчитанных переменных (S1) и нажмите клавишу [ = ]. Затем проделайте то же самое со второй переменной (S2).

4. Изменение значений параметров, заданных в условии задачи (исходных данных) приводит к автоматическому пересчету значений, получаемых по формулам. Изменяя значение переменной W, исследуйте, как изменяется требуемый размер терморегулировочных отверстий при удалении аппарата от Солнца и приближении к нему (на орбите Венеры W=2700 Вт/м², на орбите Марса W=500 Вт/м²).

5. Обратите внимание, что единицы измерения результата соответствуют системе СИ. Используемая система единиц отображается в диалоговом окне Insert Unit (Вставка единиц измерения). Чтобы изменить используемую систему единиц, выберите команду Math > Options и в открывшемся диалоговом окне Math Options (Параметры расчета) выберите вкладку Unit System (Система единиц). Выберите систему CGS (Сантиметр – грамм – секунда) и посмотрите, как изменились результаты. Повторите то же самое с американской системой единиц (U.S).

• Мы научились производить вычисления с использованием размерных физических величин, а также преобразовывать данные из одной системы единиц в другую, наиболее удобную.

Задание 3. Векторы и матрицы

Задача. Решить систему линейных алгебраических уравнений:

X + 2Y + 2Z = 1

2X + 6Y + Z = 1

2X + Y  Z = 1

Математическая постановка. Перепишем систему в виде матричного уравнения , где M – матрица коэффициентов левой части, V – вектор свободных членов.

, .

Решая матричное уравнение, найдем вектор .

Инструкция по выполнению.

1. Запустите MathCad.

2. Создайте матрицу M. Начните запись оператора присваивания (M:=), а для ввода правой части нажмите комбинацию клавиш [ CTRL ] + [ M ], вызвав тем самым команду Insert > Matrix (Вставка > Матрица), или же щелкните на кнопке Matrix or Vector (Матрица или вектор) на панели инструментов Matrix (Матрица).

В открывшемся диалоговом окне Insert Matrix (Вставка матрицы) укажите число строк и столбцов (по 3) и щелкните OK. Введите значения элементов матрицы в отведенные места. Для перехода к вводу значения следующего элемента матрицы используйте клавишу [ Tab ].

3. Аналогичным образом сформируйте вектор свободных членов V как матрицу, имеющую один столбец и три строки.

4. Аналогичным образом сформируйте вектор X с тремя элементами. Величины этих элементов на данном этапе значения не имеют, поэтому задаются произвольно.

5. Запишите ключевое слово given.

6. Ниже запишите матричное уравнение M·X=V. Знак логического равенства вводится комбинацией клавиш [ CTRL ] + [ = ].

7. Найдите решение системы линейных уравнений (элементы вектора X) при помощи функции find. Для этого наберите find(X)= и нажмите [ ENTER ] или щелкните за пределами выделенного блока.

8. Найдите решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы.

• Мы научились производить операции с векторами и матрицами, использовать соответствующие функции. Матричная форма часто позволяет представить задачу в более удобном виде.

Задание 4. Аналитические вычисления

Задача 1. На приведенной принципиальной электрической схеме (рис. 2.2) сопротивление R является переменным. Определить, как меняется ток I₂ в зависимости от величины этого сопротивления.

Математическая постановка. Составим систему уравнений по законам Кирхгофа. Решением ее являются токи I₀ … I_4.

I₂ + I₄ = I₀

I₁ + I₂ = I₃

rI₀ + rI₂ – RI₁ = 0

rI₂ + rI₃ – rI₄ = 0

RI₁ + rI₃ =  E

Рис. 2.2. Схема принципиальная исследуемой цепи

Эту систему нужно решить в общем виде, т.е. не подставляя конкретных значений вместо параметров r, R и E.

Инструкция по выполнению.

1. Запустите MathCad.

2. Введите ключевое слово given.

3. Введите уравнения системы, полученной в ходе математической постановки. Неизвестные токи обозначьте переменными i0, i1, i2, i3, i4. Фиксированное сопротивление r обозначьте как R0, переменное сопротивление R – как R.Обратите внимание, что присваивать начальные значения (приближения) токов или задавать значения переменных R0, R и E не требуется.

4. Введите функцию find, перечислив в качестве параметров неизвестные i0, i1, i2, i3, i4. Затем введите оператор аналитического вычисления, который выглядит как стрелка, направленная вправо, и вводится комбинацией клавиш [ CTRL ] + [ . ] или кнопкой Evaluate Symbolically (Вычислить аналитически) на панели инструментов Evaluate (Вычисление)

find(i0,i1,i2,i3,i4)→

5. Щелкните за пределами данного блока, и MathCad произведет аналитическое (в общем виде) решение системы уравнений.

Полученные выражения позволяют провести анализ схемы.

Задача 2. Найти все корни уравнения:

(1+yy²)² + y = 2.

Это уравнение 4-й степени. Рациональный корень только один (y=1), его подобрать легко, остальные корни – значительно сложнее. Результаты численного решения зависят от начального приближения и поэтому не гарантируют отыскания всех корней. Мы же решим уравнение аналитически.

Инструкция по выполнению

6. Введите заданное уравнение. Чтобы раскрыть скобки, используйте команду Symbolics > Simplify (Аналитические вычисления > Упростить).

7. Выделите в полученном уравнении независимую переменную (в данном случае y) и дайте команду Symbolics > Variable > Solve (Аналитические вычисления > Переменная > Решить).

MathCad выдаст вектор, элементами которого являются корни заданного уравнения.

8. Полученный результат содержит сложные комплексные радикалы, делающие практически невозможным его применение (неясно даже, являются ли корни действительными или комплексными). Чтобы разделить действительную и мнимую части корня, выделите корень и дайте команду Symbolics > Evaluate > Complex (Аналитические вычисления > Вычислить > В комплексном виде). Эту процедуру повторите для каждого последующего корня.

9. Запись результата стала более простой по форме, но все еще трудна для восприятия. Следующий шаг – раскрытие скобок, в данном случае упрощение аргументов тригонометрических функций. Применяется команда Symbolics > Expand (Аналитические вычисления > Раскрыть). Проанализируйте результат. Это наилучшая запись аналитического решения, которую можно получить в MathCad.

10. Чтобы получить результат в числовом виде, достаточно ввести в конце выражения – итогового (п. 9) или на любой из предыдущих стадий (пп. 7 – 8) команду вычисления (=).

• Мы научились использовать MathCad для аналитических вычислений. Это позволяет получать точные решения задач, содержащих переменные параметры, анализировать полученные результаты, а также получать полный набор решений для некоторых типов уравнений.