2.3.1.Метод итераций

Приведем систему (2.8) к виду, удобному для итераций

x_k = φ_k(x₁, x₂, …, x_n), 1 ≤ k ≤ n. (2.11)

Выберем начальное приближение к корню (x₁⁰, x₂⁰, …, x_n⁰) и последующие приближения вычислим по формулам

x_k^{s +1} = φ_k(x₁^s, x₂^s, …, x_n^s), 1 ≤ k ≤ n, s = 0, 1, 2, … (2.12)

Приведем без доказательства достаточные условия сходимости метода итераций (более строгое изложение можно найти, например, в [1, 2, 3, 7, 9]). Обозначим точное решение системы (2.8) . Назовем ε-окрестностью точки множество точек x = (x₁, x₂, …, x_n), удовлетворяющих условиям

.

Теорема 2.4. Пусть в некоторой ε-окрестности точного решения частные производные существуют и удовлетворяют одному из трех неравенств

(2.13)

где . Если начальное приближение принадлежит ε-окрестности точного решения, то метод простой итерации (2.12) сходится к точному решению.

Пример 2.9. Решить систему уравнений методом простых итераций

Решение. Выразим из первого уравнения y, а из второго — x:

Проверим условие сходимости (2.13). Найдем частные производные

Так как при любых допустимых значениях переменных верно неравенство

,

то не существует значений аргументов, при которых выполняются условия (2.13). Следовательно, для системы

нельзя гарантировать сходимость метода итераций.

Выразим теперь из первого уравнения переменную x, а из второго — y и найдем частные производные:

Очевидно, что в окрестности точки x = 0,641; y = 0,801 условия (2.13) также не выполняются.

Тем не менее, примем за начальные значения x = 0,641; y = 0,801 и выполним итерации. Заполним ячейки, как показано в таблице 2.11, выделим диапазон B2:C2 и протянем маркером заполнения вниз до 402-й строки(!).

В таблице 2.12 приведены результаты расчетов. Они показывают, что метод итераций сходится, хотя и очень медленно.

Таблица 2.11

	A	B	C
1	k	x	y
2	0	0,641	0,801
3	1	=C2^2	=COS(B2)

Таблица 2.12

	A	B	C	D	E
1	k	x	y
2	0	0,6410000000	0,8010000000	-0,0006010000	0,0004981615
3	1	0,6416010000	0,8014981615	-0,0007983029	-0,0003595411
…	…	…	…	….	…
102	101	0,6417003984	0,8011234577	-0,0000983960	-0,0000443290
…	…	…	…	…	…
401	399	0,6417143981	0,8010706623	0,0000001921	0,0000000865
402	400	0,6417142061	0,8010707489	-0,0000001387	0,0000001150