3.2. Модифицированный метод ньютона

Если матрицу Якоби F'(х) вычислить и обратить лишь один раз — в начальной точке , то от метода Ньютона (3.1.2) придем к модифицированному методу Ньютона

(3.2.1)

Этот метод требует значительно меньших вычислительных затрат на один итерационный шаг, но итераций при этом может потребоваться значительно больше для достижения заданной точности по сравнению с основным методом Ньютона (3.1.2), поскольку, являясь частным случаем МПИ ( ), он имеет лишь скорость сходимости геометрической прогрессии.

Компромиссный вариант — это вычисление и обращение матриц Якоби не на каждом итерационном шаге, а через несколько шагов (иногда такие методы называют рекурсивными).

Например, простое чередование основного (3.1.2) и модифицированного (3.2.1) методов Ньютона приводит к итерационной формуле

(3.2.2)

где k = 0,1,2,… За здесь принимается результат последовательного применения одного шага основного, а затем одного шага модифицированного метода, т.е. двухступенчатого процесса

(3.2.3)

Доказано, что такой процесс при определенных условиях порождает кубически сходящуюся последовательность ( ).

3.3. Метод ньютона с последовательной аппроксимацией матриц

Задачу обращения матриц Якоби на каждом k-м шаге метода Ньютона (3.1.2) можно попытаться решать не точно, а приближенно. Для этого можно применить, например, итерационный процесс Шульца, ограничиваясь минимумом — всего одним шагом процесса второго порядка, в котором за начальную матрицу принимается матрица, полученная в результате предыдущего (k-1)-го шага. Таким образом приходим к методу Ньютона с последовательной аппроксимацией обратных матриц:

(3.3.1)

г де k = 0,1,2,…, а и - начальные вектор и матрица ( ). Этот метод (будем называть его более коротко ААМН — аппроксимаиионный аналог метода Ньютона) имеет простую схему вычислений — поочередное выполнение векторных в первой строке и матричных во второй строке его записи (3.3.1) операций. Скорость его сходимости поч­ти так же высока, как и у метода Ньютона. Последовательность ( ) может квадратично сходиться к решению уравнения F(x)=0 (при этом матричная последова­тельность ( ) также квадратично сходится к , т.е. в нормально развивающемся итерационном процессе (3.3.1) должна наблюдаться достаточно быстрая сходимость ( ) к нулю).

Применение той же последовательной аппроксимации обратных матриц к простейшему рекурсивному методу Ньютона (3.2.2) или, что то же, к двухступенчатому процессу (3.2.3) определяет его аппроксимацирнный аналог

(3.3.2)

как и (3.2.2), также можно отнести к- методам третьего порядка. Доказательство кубической сходимости этого метода требует уже более жестких ограничений на свойства F(х) и близость к , к , чем в предыдущем методе. Заметим, что к улучшению сходимости здесь может привести повышение порядка аппроксимации обратных матриц, например, за счет добавления еще одного слагаемого в формуле для подсчета :