Глава 5. Рынок капитала

Математическое приложение 1

171

предложения на всех кредитных рынках достигается благо­даря гибкости взаимосвязанной системы процентных ста­вок, выступающих в роли прокатных цен соответствующих капитальных активов.

При одинаковых у всех инвесторов ожиданиях отно­сительно развития конъюнктуры на рынке ценных бумаг структура вложений в реальный капитал (пакета акций) у всех избегающих риск инвесторов будет одинаковой. Раз­личия их предпочтений относительно всевозможных ком­бинаций доходности и риска проявятся в пропорциях рас­пределения имущества между финансовыми и реальными вложениями.

В условиях инфляции рисковыми являются не только вложения в реальный капитал, но и финансовые вложения. В то же время каждая составляющая имущества имеет свой источник риска. Поэтому финансовые и реальные вложе­ния для инвесторов неодинаково взаимозаменяемы. Расхо­ждения в оценке меры взаимозаменяемости проистекают из их различного отношения к риску.

Теория портфеля является основой некоторых совре­менных концепций спроса на деньги (в частности, монета­ристской концепции) и теорий ценообразования на рынке ценных бумаг.

В краткосрочных макроэкономических моделях рынок капитала обычно представляется только двумя кредитными рынками: денег и государственных облигаций. Поэтому при данном объеме сбережений и фиксированном количе­стве находящихся в обращении денег достижение равнове­сия на денежном рынке свидетельствует о существовании равновесия и на рынке облигаций.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Оптимизация структуры портфеля, состоящего из п разновидностей рисковых ценных бумаг

Обозначения:

^^ — ожидаемая доходность г'-той ценной бумаги; г = 1, 2,..., п;

д^ — доля г'-той ценной бумаги в портфеле;

а^^ -- ковариация между г'-той и ^'-той ценными бумагами;

Гр — ожидаемая доходность портфеля;

ег_р — стандартное отклонение ожидаемой доходности портфеля.

В соответствии с теорией вероятностей:

Г1

д^^^ = (д\-.-д_п) х

>г_п.

-

+2#1 030-13

г=1}=1

; <т^^ = а^^ V»,.?.

Дана функция полезности инвестора, характеризующая его отно­шение к доходности и риску: П(г_р,ст^} — -фг_р - а"^, где ф — параметр предпочтения между риском и доходностью.

Задача.

</< = !•

• тах при

Решение (посредством функции Лагранжа).

п

I = фг_р - о-р - А($3 д^ - 1) -+ тах.

« = 1

Условия максимизации:

- Л = О,

ЭЬ

- — = ч/'П - 201 <гц -

ОЕ

— — = •фп - 201 СГ,'! - 20204-2 - - - 20П0-.П - Л = О,

а! Ж

фг_п - 1д\гг_п\ -

1 -31 - ••• - 9п = 0.

172

Глава 5. Рынок капитала

Математическое приложение 2

173

В матричной форме данная система уравнений имеет вид

/20-ц ... 2<71„ 1\

С"¹ представляет структуру портфеля с минимальным риском. Доход­ность такого портфеля равна:

= 0.

(1)

1 = 1

\ 1

1

О/ V А /

а риск:

Обозначим уменьшаемое в равенстве (1) В., первый сомножитель вычитаемого (матрицу) — С, а второй сомножитель (вектор) — С. То­гда условие максимизации функции Лагранжа можно записать в виде Н — СхС = 0=>Сг = С~¹ х П. Определим обратную матрицу к матрице С и для краткости обозначим все ее элементы, кроме послед­него столбца и последней строки, — а^^. Элементы последнего столбца и последней строки получаются одинаковыми, и их обозначим с±.

1=1Л=1

/аи

\

;МАТИ

:ожение

с-¹ =

V

В этой матрице Е?₌₁ а,',' = 0; Е?₌₁ *Ц = 0; ЕГ=1 <* = 1-

Для определения оптимальной структуры портфеля остается решить систему уравнений:

\

\

V 1 /

или

+ ••• + сЧпГп)

/91 \ /«и

9п 1	=	ап1 ••• О'пп
\ А / \ С1 ... сп
9\ — С1 ~Ь Ф(а\ 1 **! Н

Предположим, что финансовые средства субъекта состоят из двух частей: рыночного портфеля определенного размера и еще одной ак­ции ^'-того вида, уже содержащегося в рыночном портфеле в соответ­ствующей пропорции. Доля цены этой акции в общих финансовых средствах инвестора равна п. Тогда в соответствии с равенством (5.1) ожидаемая доходность финансов инвестора определяется по формуле: г„ = пг] + (1 — п)?м. Стандартное отклонение будет равно

04, =

2п(1 - п) соу(г^ , г_м).

Определим предельное соотношение между доходностью и риском финансовых средств субъекта:

да-у ап I ап '0.5[2п«г? - 2(1 - п)^ +2(1 - 2п)соу(г,,г_м)] _

_ „)

9п = с_п + ф(а_пгг1 + ... + а_ппг_п).

Обозначив 6, = Е}¹-! ^а1} ^гз > получим следующую формулу для опре­деления оптимальной доли каждого вида ценных бумаг в портфеле: д^ — ъ + 1/>&; •

Определим портфель с минимальным риском. По своей природе па­раметр •ф представляется тангенсом угла, образованного осью ординат и касательной к области выбора инвестора в точке, представляющей опти­мальный портфель (см. рис. 5.13). Когда инвестор выбирает портфель с минимальным риском, тогда касательная становится параллельной оси ординат, и поэтому ф = 0. Значит, у портфеля, обладающего минималь­ным риском, д; = с;, т. е. последний столбец (строка) обратной матрицы

(1)

па] - (1 - п)^_м + (1 - 2п)соу(г_;-,г_м) ₍₁ _ _п)2(Т^ _{+ 2}„(1 _ п)соу(г

Из отношения (1) можно вывести предельное соотношение между доходностью и риском рыночного портфеля. Для этого нужно взять п = 0, т. е. предположить, что портфель рисковых активов субъекта в точности соответствует структуре рыночного портфеля, и тогда:

дг_м 8<т_м

з ~ ^гм

_ 'з

г,- - г_м

6.1, Условия совместного равновесия

175