Глава 5. Рынок капитала

5.3. Оптимизация структуры портфеля ценных бумаг

139

г в

Рис. 5.5. Нулевая (а), положительная (б) и отрицательная (в) корре­ляции между доходностью двух разновидностей ценных бумаг.

сти двух ценных бумаг при р —>• 0, /з—»+1и/о—*•-!. Ка­ждая точка в системе координат га, гв представляет опре­деленную комбинацию доходности двух видов ценных бу­маг. При нулевой корреляции (рис. 5.5, а) расположение точек не имеет ярко выраженной направленности. Если рост доходности одной акции сопровождается ростом доход­ности другой (рис. 5.5, б), то налицо положительная корре­ляция. При отрицательной корреляции с ростом доходно­сти одной акции происходит снижение доходности другой (рис. 5.5, в).¹

Числовой пример. Случайная переменная х с вероятностью 0.3 мо­жет принять значение 50, с вероятностью 0.2 — значение 100 и с веро­ятностью 0.5 — значение 130. Случайная переменная у с вероятностью 0.6 примет значение 150, с вероятностью 0.4 — значение 275. Вероят­ность того, что х будет равно 50 тогда, когда у равно 150, составляет 0.2. Все другие показатели вероятности совместного появления различ­ных значений х и у приведены в табл. 5.2.

Определим стандартные отклонения:

<т² = 0.3(50 - 100)² + 0.2(100 - 100)² + 0.5(130 - 100)² =

= 1200 => с_х = 34.64; <т² = 0.6(150 - 200)² + 0.4(275 - 200)² = 3750 =>- <г_у = 61.237.

Вычислим ковариацию:

соу(х,у) = 0.2(150 - 200)(50 - 100) + 0.1(150 - 200)(100 - 100)+

+0.3(150 - 200)(130 - 100) + 0.1(275 - 200)(50 - 100)+ +0.1(275 - 200)(100 - 100) + 0.2(275 - 200)(130 - 100) = 125.

Теперь можно определить коэффициент корреляции:

р = — = 0.059.

34.641 -61.237

В дальнейшем нам потребуются также следующие по­ложения теории вероятностей.

Ожидаемое значение суммы случайных переменных равно сумме их ожидаемых значений:

х + у = х + у. Если а и Ь некоторые константы, то

ах + Ьу — ах + Ьу. (5-1

Дисперсия суммы двух случайных переменных равна

Таблица 5.2
^7 — : — -Л_	50	100	130
150 275	0.2 0.1	0.1 0.1	0.3 0.2

В данном примере ожидаемые значения х к у равны х = 0.3 • 50 + 0.2 • 100 + 0.5 • 130 = 100; у = 0.6 • 150 + 0.4 • 275 = 200.

соответственно

(5.2)

Если случайные переменные стохастически незави-

симы, то р = 0 и тогда

¹ Коэффициенты корреляции курсов (доходностей) акций, обращаю­щихся на рынке ценных бумаг, регулярно публикуются в периодической печати; см.: Статистические приложения, табл. 2.20.

соответственно

(5.2а)

140

Глава 5. Рынок капитала

Необходимость учитывать наряду с доходностью акции и ее риск значительно расширяет область выбора инвестора при формировании портфеля.

Допустим, на фондовом рынке обращаются акции ше­сти фирм. Характеристики этих акций представлены в табл. 5.3.

Таблица 5.3