Глава 14. Модели равновесного роста экономик

14.1. Равновесный рост без технического прогресса

529

-}1

(9-

несмотря на гибкость цен, и в этой модели равновесие не­устойчиво.

(Я-

(Я*

Рис. 14.2. Устойчивость равновесного роста в модели Калдора.

Разделив обе части равенства (14.12) на у^, после пре­образований⁴ получим среднюю норму инвестиций в виде функции от доли прибыли в национальном доходе:

А₄_1

Если

и

У1

то графики 5_г/1/г и I^/у^ проходят так, как показано на рис. 14.2. В этом случае точка их пересечения предста­вляет условие динамического равновесия: когда доля пред­принимателей в национальном доходе равна, тогда при гиб­ких ценах динамическое равновесие устойчиво. Если доля предпринимателей будет превышать свое равновесное зна­чение, то сбережения окажутся больше инвестиций. На рынке благ образуется избыток, цены начнут снижаться, и доля предпринимателей в национальном доходе умень­шится. Когда эта доля станет меньше, тогда на рынке благ возникнет дефицит, цены повысятся и доля предпринима­телей в национальном доходе увеличится. Но при соотношениях

14.1.2. Неоклассические модели (модель Солоу)

В отличие от посткейнсианских моделей роста в нео­классических коэффициент капиталовооруженности труда (А'/Ю не является константой, а меняется в зависимости от состояния конъюнктуры. Для этого кроме технической вза­имозаменяемости факторов производства необходима пред­посылка неоклассической концепции о господстве совер­шенной конкуренции на рынке факторов. Отсюда проис­текает название этих моделей.

Р. Солоу⁵ доказывает, что нестабильность динамиче­ского равновесия в посткейнсианских моделях есть след­ствие невзаимозаменяемости факторов в производственной функции. Вместо производственной функции Леонтьева Солоу использует в своей модели роста производственную функцию Кобба—Дугласа, в которой труд и капитал явля­ются хорошими субститутами и сумма коэффициентов эла­стичности выпуска по факторам равна единице (постоянная эффективность от масштаба):

В модели отсутствует функция совокупного спроса и предполагается, что спрос изменяется в таком же размере, как и предложение.

Так как параметром, обеспечивающим равновесный рост в модели Солоу, является капиталовооруженность труда, представим производственную функцию (14.13) в виде

У г К^}-^а (' К-1

обозначив у^/N^ = ^^, К^/N^ —- ф^, получим

-У > У* —

^{У У} У^

⁴См. Математическое приложение.

•а

и

⁵8о1ои> К. А сопШЪггЫоп ^. Есоп. 1956. Уо1. 70. РеЬг.

Игеогу оИ есопопис

(14.14) // «Зиаг*.

530

Глава 14. Модели равновесного роста экономики!

Таким образом, в модели Солоу средняя производитель­ность труда есть функция его капиталовооруженности.

Рис. 14.3. График произведет-

венной функции в модели Солоу.

График этой функции представлен на рис. 14.3. По мере роста капиталовоору­женности труда его произво­дительность увеличивается, но с убывающей скоростью, так как снижается предель­ная производительность ка­питала. Средняя производительность капитала на рис. 14.3

₌ _

" К ~~

(14.15)

представлена 1;§7> так как

Ф К/N

Тангенс угла касательной к кривой ^(ф} характеризует предельную производительность капитала. Это следует из того, что

\14.1. Равновесный рост без технического прогресса 631

\ От периода к периоду может меняться не только число занятых, но и их капиталовооруженность. Размер необхо­димого при этом дополнительного капитала определяется из равенства

(14.18)

Приращение капитала обеспечивается нетто инвестици­ями:

ЛК/сИ = /«, (14.19)

которые в условиях равновесного роста должны равняться объему сбережений:

/« = 5_уУ1. (14.20)

Из равенств (14.18)— (14.20) следует, что для поддержа­ния равновесного роста требуется выполнение равенства:

(14.21)

Так как производственная функция в модели Солоу имеет постоянную отдачу от масштаба, то

(14.16)

Функция предложения труда в модели Солоу имеет вид

и выражение (14.21) упрощается:

где е — основание натуральных логарифмов; п — годовой темп прироста населения и предложения труда, 0 < п < 0.3. Тогда годовой объем производства и предложения благ представляется такой функцией:

У1 = у(К₁^₀е^пг). (14.17)

Объем используемого в каждом периоде капитала можно представить в виде произведения капиталовооруженности труда на число занятых:

п1

Примем также во внимание, что по экономическому смыслу у(ф, 1) = ^^•, тогда выражение (14.21) можно пред­ставить в виде

^У< г, ,

— = Ьу^^ - Пф1-

Л„/.

(14.22)

Выражение (14.22) показывает, как во времени должна изменяться капиталовооруженность труда, чтобы равно­весный рост, обеспечивающий полное использование про­изводственных мощностей, сопровождался полной занято­стью.

532

Глава 14. Модели равновесного роста экономики

Поскольку ^^ есть доход на одного занятого, то 8у^^ пред­ставляет объем осуществляемых им в период I сбережений. Для равновесного роста нужно, чтобы все сбережения были инвестированы.

Спрос на инвестиции в период ^ определяется потребно­стью в дополнительном капитале для оснащения им вновь нанятых в этом периоде рабочих. Произведение пф^ пока­зывает, сколько в среднем требуется дополнительного ка­питала на одного работающего, чтобы капиталовооружен­ность вновь нанятых в период I рабочих равнялась ф^

Следовательно, при 5у^^ = пф_г будет происходить равно­весный рост с постоянной капиталовооруженностью и по­стоянной производительностью труда. Когда 5у^^ > пф^ объем сбережений превышает объем инвестиций (дополни­тельного капитала), необходимый для оснащения исполь­зуемого труда на уровне ф₍. В данном случае для обеспе­чения равенства 5^ = /₍ нужно перейти к более капитало­емкой технологии, т. е. повысить ф_{. Соответственно при 5у^^ < пф1 для сохранения равновесия и обеспечения пол­ной занятости (5₍ = 1₍ и ]У/ = Nр^>) приходится снижать капиталовооруженность труда.

Как обеспечивается необходимое для равновесного ро­ста изменение капиталовооруженности труда?

Рис. 14.4. Устойчивость равновесного роста в модели Солоу.

В неоклассической концепции это происхо­дит за счет гибкости цен на факторы производст­ва, и поэтому динамиче­ское равновесие оказыва­ется устойчивым. Про­следим за этим -процес­сом, используя рис. 14.4, на котором в графиче­ском виде представлены слагаемые правой части равенства (14.22).

График пф представляет собой прямую линию, так как темп роста населения (п) постоянен. Линия 5_уд выпукла, так как при постоянной 8_У она получается в результате сдвига линии ^(ф) на рис. 14.3. При капиталовооружен-

14.1. Равновесный рост без технического прогресса 533

ности ф₀ экономический рост будет равновесным, так как соблюдается равенство 5^ = пф_{.

Если при сложившейся структуре цен максимум при­были достигается при капиталовооруженности труда ф₂ > ^т° возникает нехватка капитала для полного оснащения воз­росшего количества труда. Труд оказывается относительно избыточным, и его цена снижается. Начнется замена ка­питала трудом, т. е. снижение ф.

Если при данных относительных ценах и уровне раз­вития техники оптимальной окажется технология с ф\, то избыточным станет капитал, снизится его цена, что приве­дет к росту капиталовооруженности труда.

Так, возможность технической субституции факторов и гибкая система цен обеспечивают устойчивый равновесный рост экономики.

Числовой пример. Национальный доход производится по техноло-гии, представленной производственной функцией у^ = ^/N~^К~^• В ну­левом периоде ]У₀ = 10 и К₀ = 640; тогда у₀ = 80, до = 8, ф₀ = 64. Предельная склонность к сбережению равна 0.3, а темп прироста трудо­вых ресурсов — 0.03.

В такой ситуации равновесный рост невозможен, так как

5_уд₀ - 0.3 • 8 = 2.4 > пф₀ = 0.03 • 64 = 1.92.

Избыточное предложение капитала должно снизить его цену, что стимулирует предпринимателей повышать капиталовооруженность тру­да. Для равновесия на рынке благ необходимо, чтобы в первом периоде капитал возрос на 0.3 • 80 = 24 ед. Принимая во внимание, что в первом периоде предложение труда возрастет до 10 • 1.03 = 10.3, вычислим про­изведенный в этом периоде доход: у1 = ^10.3 • 664 = 82.7. Но и теперь не выполняется условие равновесного роста:

5^9! = 0.3 • 82.7/10.3 = 2.41 > пч/>1 = 0.03 • 664/10.3 = 1.93.

Для обеспечения равенства 5] = 1\ требуется дальнейшее повыше­ние капиталовооруженности труда. Так будет продолжаться до дости­жения равенства 0.3д< = 0.03|/>«, или а = 0.1. В табл. 14.3 показано, как будет развиваться процесс накопления до 10-го периода.

Если бы в рассматриваемом примере предельная склонность к сбе­режению равнялась 0.24, то до 10-го года выполнялось бы условие рав­новесного роста и развитие экономики проходило бы так, как показано в табл. 14.4.

534

14.1. Равновесный рост без технического прогресса

535

Величина темпа устойчивого роста определяется в мо­дели Солоу из уравнения

У_

к

^п

Глава 14. Модели равновесного роста экономики

« т* т-Ч С!)		о Г-Н	СО О! О! „ О! С гн та (О 12 см о с ' Ч* » . 1>- СМ С Я та 2 » « 1 =	ч -ч1 о о _^ о со гн та ~ 0 ТО СО Ю 1-1 3 О ч* О я		о (— (	^^-§§с^« §§§ ^^5^^*^^ бт-нг-;
			гН г-н О! Щ » О С	э о см см н'			тН X ш "
1		оз	О оо тн ^ то с; к^ о .• Я •* оа с о то оо « « 1 с	ч из т-н -ч< Ч 0 СО -Ч1 О Ю з та 1т~ ^ Л ; о •* о ^			СО »Л _^ Г1 >п тао^хойто тосмсм тЙта^т-н^ ОО1О1
			гн гн 00 в 00 0 С	5 О СМ СМ			Отн^2°°'о'0 Отнгн
		оо	тч (0 т-н °> гн гн Р -* <° (0 ^ Я М 2 0 см " И ^ ^ т-н т-н 00 И 00 О С	3 СО СО 1^ о та со см з о -ч1 о з' о см сд		00	•ч* !>. ТОСО.§ОЙТО ТОСМСМ гНСМ^^ЯтнР 001О1
				с с- из с~			,_ X со 0
		ь-	» О1 О! ~ Ю СМ С> о ^ ю Г- о> см с; о см см . ""? ""I	0 со X -Ч" 0 то из т-н а о •* о			^ОтнОоШс, СОСМСМ
О			т-н гн СО в 00 0 «	3 О СМ СМ >-,			ООС*^00^,у? «X X ^ 1
8
о		0	И тс в И со см о . О! ,• . СО СМ 0 Ь- • 2 со г-н т-н С	3 со О т-н О о та «а о О = ° •* ° В			« 3 см о § из § „ „ ^
о>			°> 3 ™ «о оо 6 с	э о см см |5
14	••*-»			ш	-т-^
8 О ц	!	ю	«з^зз? т|< • §§ ю тн гн С	Э (> СМ X 2 э то -ч" х 5- 3 О "Ч* С7!	ч О Я	Ю	^°>°!§оЙго госмсм ..т-н.О^-О ОСЯО1
	0)		05 Ц. ™ <° 00 6 С	3 О СМ тн ц	о		СЯт^^СО^б0' О гЧ гН
Ц	и
о		*	_, ю ю ~. см и И ю ел 55 •* та о ™ СМ • °° тн СМ С- И ,; ° « ТН тН С	3 тН тН О И э 1> -ч1 из н э то то о И 3 О т)4 О! *Р		•*	т)<!отод01пго тосмсм Я^бЯо^О 0010!
н о			» И ? » 00 6 С	э о см тн 2 я			§т^"=0°°6°' ОгНтН
а т Н и		со	<§ см 5§ °° «э го е» ™ О) • го. х см р 58 6 3 "» ° ^ с	Э (М X 1Д § Э 1г- 1ГЭ тн п э та см (о Э О -Ч1 01 Н		со
О.			оо 2 Р «о ос 16 с	Э О СМ т4 5			СОтНСОСО^О0 Огнг-*
1 8		N	2 0 00 » X 5 0 ^ Я* о22	- "Ч1 та X ;М > та т— < ^ л 3 0 -ф О1 Д		см	^-т-нОО-^Ю^- «го -т '"^аЯо^о ото;
8			00 2 (О <° 00 6 С	Э 0 М тн «			X гн (0 «Э 0 гн ^
н § А		т-Н	?та ^ ^ о) "5 см 2 в ^ Я 2 с X ^ СО . .	, ю[_о 5 э ь- х -ч* ш э то о та 5 Э 0 тН 0! (^		т — 1	Зто^оЭсмС тасмсм .О! • О 1_н О О О1 О1 х2сосо°060' О^гн
Рн			х о с:
		О	§212«2 о	•л СМ 1 • °> 1 « ^		о	0 0 о „, см « Хт-н^'О00'"! 1 Iе40? щ о ^
			со тнО « + р?^" -^ ~.~ || И !!_ II * ||	с? СО , *• со о л'1^ сз о			'1~^^~^1 ?; ^. ^ч ~?э- и4 О *?5; *^ ^Э ^Э

(14.23)

= — => п = аЗ_у.

О II

При отсутствии технического прогресса и постоянной эффективности от масштаба производительность капитала не зависит от времени (а = сопзг). Рассмотрим послед­ствия изменения двух оставшихся параметров равенст­ва (14.23).

Можно ли посредст­вом изменения нормы сбережений воздейство­вать на темп равновес­ного роста? Для ответа на этот вопрос исполь­зуем рис. 14.5.

•/-1

Первоначальное ди­намическое равновесие представлено точкой Е₀. Здесь объем сбережений равен необходимому для равновесного роста объ-

Рис. 14.5. Равновесный рост при по- ему инвестиций. Если вышении нормы сбережений.

норма сбережений возра­стет с 8у до 5^,, то на рис. 14.5 это отобразится сдвигом 8у^ -* 5'_уд.

Теперь при тр₀ объем сбережений превысит объем ин­вестиций и капиталовооруженность труда будет возрастать до 1р1, когда восстановится равенство 5< = /< в точке Е\.

После завершения перехода к более капиталоемкой тех­нологии производства темп роста, как следует из равен­ства (14.23), по-прежнему равен п. Но во время перехода темп роста национального дохода был больше п. Это сле­дует из того, что повысить капиталовооруженность труда можно только тогда, когда объем капитала, а следова­тельно и объем дохода, растет быстрее объема используе­мого труда. Динамика национального дохода в переходном периоде показана на рис. 14.6.

536