
- •Раздел 2. Прямая на плоскости.
- •§1. Параметрические и каноническое уравнения прямой
- •§ 2. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках.
- •§ 3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •§ 4. Общее уравнение прямой.
- •§ 5. Взаимное расположение двух прямых
- •§6. Пучок прямых.
- •§7. Геометрический смысл знака линейного трехчлена
- •§8. Нормальное уравнение прямой.
- •§9. Расстояние от точки до прямой.
- •§10. Угол между двумя прямыми на плоскости
§7. Геометрический смысл знака линейного трехчлена
Пусть относительно общей декартовой системы координат задана прямая общим уравнением .
Рассмотрим функцию
,
где
.
.
.
Выясним смысл
неравенств
и
.
Пусть
и
:
,
.
Говорят, что прямая
делит отрезок
в отношении
,
если в этом же отношении точка пересечения
прямых
и
делит отрезок
.
Пусть точка
пересечения прямых
и
делит отрезок
в отношении
,
т.е.
,
и
:
,
.
Тогда
,
(*)
а поскольку по
условию
,
то
,
,
то
.
Поэтому из (*)
получаем
. (7.1)
Если
– внутренняя точка отрезка
,
то
и (7.1)
,
т.е.
и
имеют разные знаки.
Если
– внешняя точка отрезка
,
то
и (7.1)
,
т.е. и имеют одинаковые знаки.
Вывод: В точках, расположенных по разные стороны прямой , линейный трехчлен принимает значения разных знаков. В точках, расположенных по одну сторону от прямой , линейный трехчлен принимает значения одного знака.
Таким образом,
всякая прямая
делит плоскость на две полуплоскости
так, что в точках одной из них функция
(
)
принимает положительные значения, а в
точках другой – отрицательные.
Определение.
Вектор
называют главным
вектором прямой
.
Очевидно, что
и
не коллинеарны.
Действительно, допустив противное, получаем
.
Получили противоречие.
Отложим теперь
главный вектор
от некоторой точки
прямой
.
Пусть
и
.
Т.к.
,
то
.
Тогда
,
и
.
Следовательно
.
Вывод: Главный вектор прямой принадлежит положительной полуплоскости, если он приложен к некоторой точке этой прямой.
Замечание: Если
прямая не проходит через начало координат,
то знаки полуплоскостей определяют с
помощью точки
– начала ординат.
§8. Нормальное уравнение прямой.
Определение. Ненулевой вектор, перпендикулярный направляющему вектору прямой, называют нормальным вектором прямой.
Пусть относительно
прямоугольной декартовой системы
координат
,
задана прямая
и
.
И пусть
и – нормальный вектор прямой
.
Т
огда
.
– направляющий вектор прямой
,
и
.
(8.1)
Соотношение (8.1) называют уравнением прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору .
Определение. Уравнение прямой называют нормальным, если ее нормальный вектор является единичным.
П
усть
.
Тогда
.
Точка
– основание перпендикуляра, проведенного
из начала координат на прямую
.
(
),
.
. (*)
Точке
поставим в соответствие ее радиус-вектор:
.
Тогда
.
Поэтому (*)
или, используя свойства скалярного
умножения векторов, получаем
. (8.2)
Равенство (8.2) в координатной форме принимает вид
.
(8.3)
Соотношение (8.3) – нормальное уравнение прямой .
Если в прямоугольной декартовой системе координат прямая задана общим уравнением, то главный вектор и направляющий вектор взаимно перпендикулярны:
.
Вывод: В прямоугольной декартовой системе координат главный вектор прямой является ее нормальным вектором.
Пусть прямая задана общим уравнением
. (8.4)
Чтобы привести
уравнение (8.4) к нормальному виду, домножим
обе его части на
:
. (**)
Пусть (**) – нормальное уравнение. Тогда
. (8.5)
Число (8.5) называют нормирующим множителем.
Замечание: Знак
выбирают противоположным знаку свободного
члена
общего уравнения прямой.
Тогда (**)
.
(8.6)
Кроме того, вектор
имеет координаты
.
(8.7)