§7. Геометрический смысл знака линейного трехчлена

Пусть относительно общей декартовой системы координат задана прямая общим уравнением .

Рассмотрим функцию , где .

.

.

Выясним смысл неравенств и .

Пусть и : , .

Говорят, что прямая делит отрезок в отношении , если в этом же отношении точка пересечения прямых и делит отрезок .

Пусть точка пересечения прямых и делит отрезок в отношении , т.е. , и :

, .

Тогда

, (*)

а поскольку по условию , то , , то . Поэтому из (*) получаем

. (7.1)

Если – внутренняя точка отрезка , то и (7.1)

,

т.е. и имеют разные знаки.

Если – внешняя точка отрезка , то и (7.1)

,

т.е. и имеют одинаковые знаки.

Вывод: В точках, расположенных по разные стороны прямой , линейный трехчлен принимает значения разных знаков. В точках, расположенных по одну сторону от прямой , линейный трехчлен принимает значения одного знака.

Таким образом, всякая прямая делит плоскость на две полуплоскости так, что в точках одной из них функция ( ) принимает положительные значения, а в точках другой – отрицательные.

Определение. Вектор называют главным вектором прямой .

Очевидно, что и не коллинеарны.

Действительно, допустив противное, получаем

.

Получили противоречие.

Отложим теперь главный вектор от некоторой точки прямой .

Пусть и . Т.к. , то . Тогда ,

и

.

Следовательно .

Вывод: Главный вектор прямой принадлежит положительной полуплоскости, если он приложен к некоторой точке этой прямой.

Замечание: Если прямая не проходит через начало координат, то знаки полуплоскостей определяют с помощью точки – начала ординат.

§8. Нормальное уравнение прямой.

Определение. Ненулевой вектор, перпендикулярный направляющему вектору прямой, называют нормальным вектором прямой.

Пусть относительно прямоугольной декартовой системы координат , задана прямая и . И пусть и – нормальный вектор прямой .

Т огда . – направляющий вектор прямой , и

. (8.1)

Соотношение (8.1) называют уравнением прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору .

Определение. Уравнение прямой называют нормальным, если ее нормальный вектор является единичным.

П усть . Тогда . Точка – основание перпендикуляра, проведенного из начала координат на прямую .

( ), .

. (*)

Точке поставим в соответствие ее радиус-вектор: . Тогда . Поэтому (*) или, используя свойства скалярного умножения векторов, получаем

. (8.2)

Равенство (8.2) в координатной форме принимает вид

. (8.3)

Соотношение (8.3) – нормальное уравнение прямой .

Если в прямоугольной декартовой системе координат прямая задана общим уравнением, то главный вектор и направляющий вектор взаимно перпендикулярны:

.

Вывод: В прямоугольной декартовой системе координат главный вектор прямой является ее нормальным вектором.

Пусть прямая задана общим уравнением

. (8.4)

Чтобы привести уравнение (8.4) к нормальному виду, домножим обе его части на :

. (**)

Пусть (**) – нормальное уравнение. Тогда

. (8.5)

Число (8.5) называют нормирующим множителем.

Замечание: Знак выбирают противоположным знаку свободного члена общего уравнения прямой.

Тогда (**)

. (8.6)

Кроме того, вектор имеет координаты

. (8.7)