§ 4. Общее уравнение прямой.

Во всех рассмотренных уравнениях прямой переменные и присутствуют только в первой степени. Это говорит о том, что прямая линия определяется уравнением первой степени относительно переменных и .

Справедливо и обратное утверждение.

Теорема 4.1. Всякое уравнение первой степени

. (4.1)

при условии

(4.2)

в аффинной системе координат определяет некоторую прямую.

▼ 1) Если , то (4.1) ; положив (*) и , получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом.

2) Если , то (4.1) ; положив , получаем уравнение прямой, параллельной оси .

▲

Замечание. Сравнивая равенство (*) из доказательства теоремы и соотношение (3.1), можно сделать вывод, что направляющий вектор прямой (4.1) имеет координаты 

 и , . (4.3)

Соотношение (4.1) называют общим уравнением прямой.

Частные случаи расположения прямой, заданной общим уравнением, относительно системы координат:

1) (4.1) , т.е. прямая проходит через начало координат.

2) (4.1) ( ) .

Действительно, , т.е. и коллинеарны.

3) (4.1) ( ) .

Действительно, , т .е. и – коллинеарны.

4) (4.1)

.

5) (4.1)

Рис. 4.2.

.

§ 5. Взаимное расположение двух прямых

Пусть две прямые и относительно общей декартовой системы координат заданы общими уравнениями

( ) (5.1)

( )

Из (5.1) и .

Очевидно, что прямые и могут занимать на плоскости относительно друг друга одно из трех различных положений:

1. , т.е. ;

2. ;

3. .

Рассмотрим эти случаи по отдельности:

1. и – не коллинеарны,

(5.2)

Таким образом, если прямые и пересекаются, то в их общих уравнениях коэффициенты при неизвестных не пропорциональны.

Замечание: (5.2) , . (5.3)

Следовательно, если прямые и , заданные уравнениями с угловыми коэффициентами, пересекаются, то их угловые коэффициенты не равны.

С другой стороны, если , то система (5.1) имеет единственное решение. А это означает, что ее определитель

и , , т.е. .

2. и – коллинеарны и если , то

(5.4)

и .

Пусть

. (5.5)

Таким образом, если прямые и параллельны и не совпадают, то коэффициенты при неизвестных в их общих уравнениях пропорциональны, а свободные члены – не пропорциональны.

3. , – коллинеарны и если , то

. (5.6)

Таким образом, если прямые и совпадают, то в общих уравнениях этих прямых все соответствующие коэффициенты пропорциональны.

Замечание: (5.6) и , т.е.

и . (5.7)

Следовательно, если прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и совпадают, то справедливы соотношения (5.7).

§6. Пучок прямых.

Определение. Соответственным пучком прямых называют множество всевозможных прямых на плоскости, проходящих через данную точку (называемую центром пучка).

Пусть – центр пучка (известен).

Пусть – уравнение .

Т.к. , то

. (6.1)

(6.1) – уравнение пучка (прямой, проходящей через данную точку ).

2) Пусть центр пучка неизвестен. Если и и

( )

( )

и .

Тогда уравнение

(6.2)

при условии

(6.3)

о пределяет некоторую прямую из , и, следовательно, является уравнением пучка прямых.

Действительно, соотношение (6.2)

, (6.4)

т.е. является уравнением вида , т.е уравнением некоторой прямой , причем .

(Если , то это означает, что и , т.е. справедлива система соотношений

,

которая в силу условия (6.3) обязана иметь ненулевое решение. А это означает, что определитель этой системы должен быть равен нулю:

.

А это равносильно условию

,

и, следовательно, . Получили противоречие. Значит, действительно и уравнение (6.2) определяет прямую).

Кроме того, если – точка пересечения прямых и , т.е. центр пучка, то , т.к.

,

и поэтому

,

следовательно, .

Замечание: Уравнение (6.2) зависит не от самих и , а от их отношения.

Если , то (6.2) при

. (6.5)

Соотношение (6.5) – уравнение прямой собственного пучка.

Если , если же .

Определение. Несобственным пучком прямых называют множество всевозможных прямых плоскости, параллельных некоторой прямой.

Пусть прямая ( )

определяет несобственный пучок прямых и ( )

Т. к. , то

и . (*)

Умножим теперь обе части уравнения прямой на :

.

В силу соотношений (*) при получаем

. (6.6)

Таким образом, если прямая задана общим уравнением и определяет несобственный пучок прямых, то уравнение произвольной прямой этого пучка, не совпадающей с прямой , отличается от уравнения прямой только значением свободного члена.