Раздел 2. Прямая на плоскости.
§1. Параметрические и каноническое уравнения прямой
Положение некоторой
прямой
на плоскости относительно некоторой
системы координат можно задать
(определить) различными способами.
Каждому такому способу соответствует
вполне определенное уравнение этой
прямой.
Рассмотрим на
плоскости некоторую аффинную систему
координат
и некоторую прямую
.
Пусть
.
Определение.
Всякий
ненулевой вектор
,
параллельный прямой
,
называют направляющим
вектором
этой прямой.
П
усть
– произвольная точка прямой
.
Тогда вектор
коллинеарен вектору
,
т.е.
:
.
(1.1)
Следовательно,
выполняется условие (1.1).
Обратно: пусть для
некоторой точки
плоскости выполняется соотношение
(1.1). Тогда, согласно определению умножения
вектора на число, точка
.
Таким образом, уравнение (1.1) есть уравнение прямой, которое называют векторным (векторно-параметрическим).
Если
и
–
радиус-векторы точек
и
соответственно, то (1.1) равносильно
соотношению
или
.
(1.2)
Уравнение (1.2) также называют векторным уравнением прямой.
Записав уравнение (1.2) в координатной форме, получаем параметрические уравнения прямой:
(1.3)
Исключая параметр
из соотношений (1.3), получаем каноническое
уравнение прямой:
(1.4)
Замечание.
Уравнение (1.4) выражает условие
коллинеарности направляющего вектора
прямой
и лежащего на этой же прямой вектора
.
Иногда это условие (и, следовательно,
уравнение (1.4)) записывают в виде
(1.5)
Частные случаи расположения прямой относительно системы координат:
1) Если
,
то векторы
и
коллинеарны. Тогда из (1.4) следует
или
.
(1.6)
Уравнение (1.6) –
уравнение прямой
2) Если
,
то векторы
и
коллинеарны. Тогда из (1.4) имеем:
.
(1.7)
Уравнение (1.7) –
уравнение прямой
Замечание.
Точку
и вектор
можно рассматривать как некоторую
«внутреннюю» аффинную систему координат
на прямой
.
Тогда координатой произвольной точки
в этой системе координат будет значение
соответствующего ей параметра
(см.(1.2) или (1.3)).
§ 2. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках.
П
усть
Тогда в качестве направляющего вектора
прямой
можно взять вектор
.
Так как
– действительно направляющий вектор
прямой
.
Положим
.
Тогда из (1.4)
(2.1)
Соотношение (2.1) – уравнение прямой, проходящей через две точки.
Допустим, что
Тогда
и
Следовательно, взяв в качестве
направляющего вектора вектор
и точку
,
из (2.1) получим
или
(2.2)
(2.2) – уравнение прямой в отрезках.
Замечание:
,
§ 3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Рассмотрим в
аффинной системе координат
прямую
,
заданную каноническим уравнением
(1.4)
с направляющим
вектором
.
После несложных преобразований оно
принимает вид
(1.4)
.
Определение. Отношение второй координаты направляющего вектора прямой к его первой координате называют угловым коэффициентом прямой и обозначают
(3.1)
Если обозначить
,
то уравнение прямой принимает вид
.
(3.2)
Соотношение (3.2) – уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Теорема 3.1. Угловой коэффициент прямой не зависит от замены направляющего вектора этой прямой.
▼ Пусть
– направляющий вектор прямой и векторы
и
коллинеарны. Тогда
.
Следовательно,
▲
Теорема 3.2. Угловой коэффициент прямой волне определяется углом наклона прямой к оси абсцисс.
▼Пусть
1) т.
I
четверти, следовательно
.
(*)
.
.
∆
.
(3.3)
2) т.
II
четверти, следовательно
.
(**)
∆
.
. (3.3)
3
Рис.3.3.
)
т.
III
четверти, следовательно
(Рис.
3.4). В силу теоремы 3.1 направляющий вектор
заменим на вектор
.
Тогда
.
Поэтому, как и в случае 2), приходим к
соотношению (3.3).
4) т.
IV
четверти, поэтому
.
Тогда в силу теоремы 3.1 направляющий
вектор
заменим на вектор
.
Тогда
.
И, как и в случае 2), приходим к соотношению
(3.3).
Таким образом, из (3.3) следует, что
.
(3.4)
С
ледствие.
В прямоугольной
декартовой системе координат угловой
коэффициент прямой равен тангенсу угла
ее наклона к положительному направлению
оси абсцисс.
Д
ействительно,
так как
,
то из (3.3) получаем
.
Таким образом, действительно в прямоугольной декартовой системе координат
. (3.5)