2.14 Теорема о замене переменной под знаком определённого интеграла.

∫[a;b]f(x)dx и пусть x=Φ(t) – непрерывно дифференцируема на отрезке [α;β], причём Φ(α) = a, Φ(β)=b и при изменении t от α до β; x меняется от a до b. Тогда имеет место формула замены переменной под знаком опр. интеграла. ∫[a;b]f(x)dx = ∫[α;β]f(Φ(t)) Φ’(t)dt (1) Док-во: Докажем, что ∫[a;b]f(x)dx и ∫[a;b]f(Φ(t)) Φ’(t)dt имеют одно и тоже значение. Если F(x) есть первообразная для ф-йии f(x), то можем написать следующие р-ва: ∫f(x)dx = F(x) +C (2);

∫ f(Φ(t)) Φ’(t)dt = F(Φ(t)) +C (3); Справедливость последнего р-ва проверяется дифференцированием обеих частей по t. Из р-ва (2) получаем ∫[a;b]f(x)dx = F(x) |от b до a = F(b) – F(a). Из р-ва (3) получаем ∫[α;β]f(Φ(t)) Φ’(t)dt=F[α;β]|(от α до β) = F(Φ(β)) – F(Φ(α)) =F(b) –F(a). Правые части последних выражений равны => равны левые части. Замечание: При вычислении опр. Интеграла не надо возвращаться к старой переменной, достаточно изменить пределы интегрирования.

2.18 Длина дуги плоской кривой.

1.Определение длины дуги. Рассотрим дугу AB и разобьём эту дугу на n участков M=A; M₁;M₂; M_n; M_n=B и впишем ломанную в эту дугу, соединив точки разбиения отрезками. Обозначим длину отрезка между [M_i-1; M₀]= ∆l_i. А длина всей ломанной ∑[от i=1 до n] ∆l_i. Обозначим через λ = max ∆l_i и рассмотрим предел суммы lim[λ0] ∑[от i=1 до n] ∆l_i. Если этот предел сузествует и конечен, то его принимают за длину дуги AB/ Вэтом случае говорят, что дуга AB спрямляема и её длины равна L= lim[λ0] ∑[от i=1 до n] ∆l_i. 2. Вычисление длины плоской кривой: Дугу на плоскости можно задать в прямоугольных координатах, параметрически ив полярных координатах. Рассмотрим эти случаи:

Пусть дуга AB задана Ур-ем y=f(x), где x меняется от a до b и (a; f(a)) – координаты т. А; B(b; f(b)) причём y=f(x) – непрерывно дифференцируема на [a;b] Разобьём [a;b] на x₀=a, x₁,x_i+1,x_n=b, а дугу AB на дуги M₀= A;M₁, M_n=B и впишем ломанную M₀M₁...M_n в дугу AB. Рассотрим i-тый участок этой ломанной. M_i-1=(x_i-1;y_i-1); M_i=(x_i;y_i);∆l_i =|M_i-1-M_i|=sqr{[x_i-x_i-1]² + [y_i-y_i-1]²}=sqr{∆²x_i +∆²y_i} = sqr{∆²x + (f’(ξ_i) ²)∆²x_i }; ∆y_i=f(x_i) – f(x_i-1)=sqr{1+(f’(ξ_i)) ²} ∆x_i= f’(ξ_i) ∆x_i ∑[от i=1 до n] ∆l_i =∑[от i=1 до n] sqr{1+(f’(ξ_i)) ²} ∆x_i – интегральная сумма для ф-ции (1) sqr{1+(f’(ξ_i)) ²} на отрезке [a;b] В силу того, что f(x) – непрерывно дифференцируемая ф-я (1) – тоже непрерывна, азначит сущ. предел интегральной суммы, равный длине этой дуги. (2) L = ∫[a;b]sqr{1+ (df/dx) ²}dx параметрически: Пусть {x=Φ(t); y=Ψ(t) (3), где Ψ и Φ –непрерывно дифференцируемы на отрезке [α;β] Φ(α)=a; Ψ(β)=b Перейдём к переменной под знаком интеграла (2) L = ∫[α;β]sqr{1+ (Ψ’(t)/ Φ’(t)) ²} Φ’(t)dt, где(Ψ’(t)/ Φ’(t)) – dy/dx, а Φ’(t)dt – dx. = ∫[α;β]sqr{(Φ’_t)²+( Ψ’_t)²}dt (3) – длина дуги, заданной параметрически.

П усть кривая AB задана в полярных координатах. Ρ = Ρ(Φ) – непрерывно дифференцируема ф-я на отрезке [α;β]. Составим интеграл длины. Воспользуемся ф-лой (3), в которой в качестве пар-ра t будет ∠ Φ. Тогда дуга AB: {x= Ρ(Φ)cos Φ; y= Ρ(Φ)sinΦ} Найдём dx/d Φ= Ρ’(Φ)cosΦ - Ρ(Φ)sinΦ [α< Φ <β]; dy/d Φ = Ρ’(Φ)sinΦ + Ρ(Φ)cosΦ; sqr{((dx/dΦ) ² +(dy/dΦ) ²} =sqr{(Ρ ‘)²+Ρ ²} L =

∫ [α;β] sqr{(Ρ ‘)²+Ρ ²}d Φ (4)