2.2 Определение неопределённого интеграла

Множество всех первообразных для f(x) н/з неопределённым интегралом от f(x) и обозначается символом ∫f(x)dx = F(x) + C; f(x) – подинтегральная ф-я, f(x)dx – подинтегральное выражение, F(x) –одна из первообразных, c – произвольная константа. Геометрический смысл неопределённого интеграла: Множество всех первообразных представляют собой кривые, подобные данной с параллельным смещением относительно оси y на некоторую константу. Поставим вопрос, всегда ли существуют неопределённые интегралы?

Теорема существования: Если f(x) непрерывна на [a;b], то на этом отрезке существуют первообразные данной ф-ции и следовательно неопр. Интег. Док-во: в разделе определённый интеграл :) Замечание: не всякая непрерывная элементарная ф-я имеет первообразную в классе элементарных функций.

2.6 Методы интегрирования простейших алгебраических дробей

Каждая простейшая алг. Дробь имеет первообразную в классе элементарных ф-ий. A/x-a=∫[A/x-a]dx=Aln|x-a| + C; A/[x-a]^k=∫[A/{x-a} ^k]dx = A/[1-k] * 1/[x-a]^k + C; Bx+C/ x² + px +q;∫ Bx+C/ x² + px +q[dx]= |t=1/2(x² + px +q)’ = x + p/2; dt=dx; x=t – p/2; x² + px +q = (t-p/2) ² + p(t-p/2) +q; t² – pt + p²/4 + pt – p²/2 +q= t² –+q - p²/4; q= p²/4 ; D>0 |= Переписываем интеграл через переменную t. ∫βt+ β/[t² +α²]dt = β/2ln|t² +α²| + β/2arctg{t/α} = β/2ln(x² + px +q) + β/2arctg {x + p/2/α} 4. Bx+e/{x²+px+q}^e интегр. По рекуррентным формулам (см. справочник)

2 .10 Определённый интеграл и его геометрический смысл.

П .1 Понятие опр. интеграла. Рассмотрим задачу определение площади криволинейной трапеции. y=f(x) 0x; x=a и x=b. Для этого разобъем площадь на n полос прямыми x=x_i, где x=a<x_i<…<X_n=b/ S=∑[от i=1 до n] ∆S_i , где ∆S_i – площадь полоски с основанием ∆x_i= x_i+1 - x_i и менятся от i=0, i-1. ∆x_i h_i = f(ξ_i); (1) S≅∑[от i=1 до n] f(ξ_i)∆x_i (2) lim≅∑[от i=1 до n] f(ξ_i)∆x_i λ0; λ= max ∆x_i в данном разбиении. Если этот предел существует и конечен, атакже не зависит от т. ξ, и от характера разбиения отрезка [a;b] на ∆x_i то этот предел численно равен площади вриволинейной трапеции. Таим образом при решении задачи о площади, мы приходим к новому понятию. Дадим более строгое определение этого понятия. Пусть y=f(x) на [a;b]. Разобьём [a;b] на n частей. X₀ =a, X₁, X₂, X_n=b.∆x_i = x_i – x_n-1 ; i=1…n Выберем на отрезке (x_i-1 – x_i) ξ_i и найдём значение в этой т. f(ξ_i) (3) ∑[от i=1 до n] f(ξ_i)∆x_i – интегральная сумма от ф-ции f(x) на отрезке[a;b] Оюозначим через λ_τ = max∆x_i и перейдём к lim[λ_τ0] ∑[от i=1 до n] f(ξ_i)∆x_i .При условии существования этого предела, его н/з опр. интегралом ф-ции f(x) на [a;b] и обознач. ∫[a;b]f(x)dx. Определим геометрический смысл опр. интеграла. Если f(x)>0 на [a;b], то значение орп. Интеграла равно S криволинейной трапеции, огр. Фу-ей f(x). Сформулируем условие сущ. опр. инт. Если f(x) непрерывна на [a;b], то существует∫[a;b]f(x)dx в виде конеч. Числа. Это следут из существования площади криволинейной трапеции, огр. Непрерыв. Ф-ции. Замечание: Если f(x) на [a;b] имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода, то опр. интеграл от этой ф-ции также существует.