1 .15 Определение производной и её геометрический смысл.

П.1 Определение

Рассмотрим y=f(x)

рассмотрим x₀ ∈ X и предадим приращение аргументу ∆x

Составим ∆f = f(x₀ + ∆x) – f(x₀) и рассмотрим отношение ∆y/∆x = ∆f/∆x. Устремим ∆x –> 0, если

∃ lim [∆x –> 0]∆y/∆x = lim [f(x₀ + ∆x) – f(x₀)]/x, то его н/з производной от f(x₀)

Если сущ. конечный предел этого отнощения и он конечен, то его н/з производной от f(x₀) и обозначают символом f’(x₀) или dy/dx = df/dx

Замечание: если предел равен ∞, то говорят, что в т. x₀ производная бесконечна.

M(x;y); M’(x₀ + ∆x; y₀ + ∆y) Обозначим через Φ – угол между секущей и положительным направлением оси Ox и вычислим tg Φ = KM’/MK = [f(x₀ + ∆x) – f(x₀)]/x =∆y/∆x

Рассмотрим lim [∆x –> 0] tg Φ = lim [∆x –> 0] ∆y/∆x = f’(x) (1)

С другой стороны при ∆x –> 0 M’  M, а секущая MM’ стремится занять положение касательной MT к графику функции в т. M. Обозначим через α угол между касательной и положительным направлением оси Ox. lim [∆x –> 0] tg Φ = tg lim [∆x –> 0] Φ = tg α (2). Из (1) и (2) => tg α = f’(x)

П.2 Ур-е касательной к графику ф-ции.

Составим Ур-е касательной MT к y = f(x) в т. (x₀;y₀)

При условии, что ∃f’(x₀) < ∞. Воспользуемся Ур-ем прямой, проведённой через т. M₀ с условным коэффициентом k = f’(x₀)

y=kx + b = f’(x₀)x +b

b = y₀ - f’(x₀)*(x₀)

y = f’(x₀)x + y₀ - f’(x₀)*(x₀)= f’(x₀)(x-x₀) + y₀ – ур-е касательной к гр. Функции.

Через т. M можно провести нормаль MN. K₁ = -1/K =-1/ f’(x₀) при условии f’(x₀) ≠ 0; y= -1/ f’(x₀)* (x-x₀) + y₀, Если касательная горизонтальна (y= y₀), то нормаль вертикальна (x=x₀)

Если в т. x₀ f’(x₀) = 0 => y= y₀, - касательная, x=x₀ – нормаль

Если в т. x₀ f’(x₀)=∞ => y= y₀, - нормаль, x=x₀ – касательная.

Теорема о необходимом условии существования производной.

Если в т. x₀ ∃f’(x₀) => f(x) непрерывна в этой точке

Док-во: ∃f’(x₀) = lim [∆x –> 0]∆f/∆x => по теореме о представлении ф-ции, имеющей предел (смотри основные теоремы теории пределов) имеет место равенство ∆f/∆x = f’(x₀) + α(∆x), где α(∆x) 0 при ∆x –> 0; ∆f = f’(x₀) *∆x + α(∆x) * ∆x => f(x) непрерывно в x_0.

Таким образом св-ва непрерывности являются необходимым условием существования производной, но недостаточным.

1.19 Дифференцируемость ф-ции. Теорема о необходимом и достаточном условии дифференцируемости.

п.1 дифференциал ф-ции.

Определение: ф-ция y= f(x) дифференцируема в т. x₀, если в окрестности этой т. её приращение имеет вид (1) ∆y = A* ∆x + 0 (∆x), где A зависит только от x₀ и не зависит от ∆x. Т.е. A (x₀) – фиксированная величина, а 0 (∆x) << ∆x; 0 (∆x) – бесконечно малая более высокого порядка малости, чем ∆x [ 0(∆x)/ ∆x]  0 при ∆x  0 В р-ве 1, слагаемое A*∆x н/з главной частью приращения ф-ции, линейной относительно приращения аргумента. y = kx + b. Второе слагаемое – малая часть приращения ф-ции. Теорема о необходимом и достаточном условии дифференцируемости ф-ции. Для того, чтобы f(x) была дифференцируема в т. x₀ необходимо и достаточно существование производной в этой т.

Док-во: достаточность Пусть y= f(x) имеет производ. В т.x₀ ∃ f’(x₀) = lim [∆x –> 0]∆f/∆x, тогда по теореме о представлении ф-ции, имеющей предел ∆f/∆x = f’(x₀) + α(∆x). α(∆x) –> 0 [∆x –> 0] => f’(x₀) *∆x + α(∆x)* ∆x [f’(x₀) *∆x – главная часть приращения, α(∆x)* ∆x -0(∆x)], α(∆x)* ∆x/∆x  0 [∆x  0] Следовательно р-во (1) выполняется и функция f(x)дифференцируема в т. x₀ Необходимость: Пусть y= f(x) дифференцируема в т. x_0. Покажем, что в т. x_0. существует её производная. ∆y = A* ∆x + 0 (∆x)| : ∆x; ∆y/∆x = A + 0 (∆x)/ ∆x; lim [∆x –> 0]∆y/∆x = A + lim [∆x –> 0] 0(∆x)/ ∆x

∃ f’(x₀) = A(x₀) Для дифференцируемой ф-ции коэеффициент A является произвольным в т. x₀