1.3 Определение предела функции (для конечной и бесконечно удалённой точек)

Определение предельной точки: точка a н/з предельной т. множ. X, если в любой сколь угодно малой дельта-окрестности точки a н/х элементы мн. X. Заметим, что т. a может и не быть элементом мн. X.

Если x  a, то a – предельная точка мн. X, которому принадлежат значения x.

Если x  a+0, то это значит, что x правее a

Если x  a-0, то это значит, что x левее a

Введём понятие предела функции:

Пусть f(x) – функц., которая определена в некоторой окрестности т. a, a – предельная т. мн. X ⊃ U (a)

B – lim f (x) (при xa), если ∀ɛ>0 ∃ U_ɗ(a): ∀x∈ U_ɗ(a), |f(x)-b| < ɛ

∀ɛ>0 ∃ɗ_ɛ > 0, такое что из выполнения неравенства 0 <|x-a|< ɗ =>|f(x)-b|<ɛ

В этом определении ɛ - произвольно взятая положительная величина, сколь угодно малая. По выбранному ɛ находится ɗ - положительная величина, зависящая от выбранного ɛ.

Поясним геометрический смысл предела при условии: а – конечная предельная точка.

В озьмем интервал радиусом ɛ с центром в т. b и по заданному ɛ установим графически ɗ

ɗ = min{a-c;d-a}, ∀x∈ U_ɗ(a), |f(x)-b|<ɛ

Пусть a – бесконечно удалённая предельная точка

∀ɛ>0 ∃ M_ɛ>0, как только |x| > M =>|f(x)-b|<ɛ

1.7. Первый замечательный предел (с выводом)

lim sinx/x = 1 (x 0) x – в радианах

x>0 x 0, MB = sinx, OB = cosx

Т.к. 0<sinx<x (MB<KM), по т. Sinx0, x0

Cosx 1, x  0

lim cosx (x0)= lim sqr(1- sin²x) = 1

S_ock>S_omk>S_omb

1/2OB*BM < 1/2xR² < 1/2OK*KC

1/2sinxcosx < 1/2x < 1/2tgx

sinxcosx < x < tgx |: sinx

cosx <x/sinx< 1/cosx

1/cosx > sinx/x > cosx

lim sinx/x = 1 (x 0)

2 случай (x<0, x0)

Заменим x на –x, тогда –x 0 и –x > 0, как следует из предыдущего имеет место неравенство 1/cos(-x) > sin(-x)/(-x) > cos(-x). Используя чётность cosx и нечёт. Sinx: 1/cosx > sinx/x > cosx… lim sinx/x = 1 (x 0) □

1.11 Точки разрыва ф-ции.

1) Т. x₀ н/з т. р-ва ф-ции y=f(x), если эта т. принадлежит D(y) или её границе.

2) В этой т. нарушается непрерывность.

По характеру разрыва т. р-ва делятся следующим образом:

1) т. р-ва первого рода

а) точки устранимого р-ва

x₀ – т. устранимого р-ва, если односторонние пределы в этой т. конечны и равны, но не равны значению ф-ции в данной точке (которого может и не быть)

y= sin/x, x ≠ 0; x = 0 – т. р-ва

Вычислим односторонние пределы:

Lim sinx/x =1 (x + 0); Lim sinx/x =1 (x - 0), а следовательно они равны => f(x₀) – имеет устранимый р-в Можно создать непрерывную всюду ф-ю f(x) ={sinx/x; x ≠ 0 и 1; x=0

б) неустранимый р-в 1-ого рода

x₀ – т. неустранимого р-ва 1-ого рода, если односторонние пределы в этой т. конечны, но не равны.

y= sin/|x|, x ≠ 0; x = 0 – т. р-ва

Lim sinx/|x| =1 (x + 0); Lim sinx/x = -1 (x - 0)

Графически неустранимый р-в изображается скачком по оси ординат.

2) Т. р-ва второго рода

x₀ – т. р-ва 2-ого рода, если хотя бы один из односторонних пределов в этой т. бесконечны или не существуют.