1.29. Асимптоты. Их виды и способы отыскания.

Асимптоты есть вертикальные и наклонные. Среди последних выделяют горизонтальные и наклонные.

Если хотя бы один из односторонних пределов равен , то говорят, что x=x₀ – верт. асимптота графика ф-и.

lim (x) lim (x)

^{xx0+0 xx0–0}

Прямая y=kx+b называется накл. асимптотой графика ф-и y=(x), если эту ф-ю можно представить в виде (x)=kx+b+(x)

^(x)0

^x

Д адим геом. интерпретацию этому факту

AB=AC–BC=kx+b–kx–b–(x)=–(x)0

^x

е сли AB0  0

^x

прямая y=kx+b назыв. асимптотой графика ф-и, если расстояние между прямой и графиком стремится к 0 при удалении точки от начала координат.

Отыскание вертикальных и наклонных асимптот.

Верт. асимптоты находятся из анализа точек разрыва 2-го рода.

Отыскание накл. асимптот связано с существованием 2-х пределов.

(x)=kx+b+(x) |:x

(x)/x=k+b/x+(x)/x

lim (x)/x=k+lim b/x+lim (x)/x

^{x x x}

(1) lim (x)/x=k  график ф-и имеет угловой наклон k при

^x0 x0

(2) lim ((x)–kx)=lim (b+(x))=b

^{x x}

если lim ((x)–kx), то

^x

y=kx+b – накл. асимптота графика ф-и

Для того, чтобы ф-я имела накл. асимптоту необходимо и достаточно выполнения (1) и (2).

Схема исследования.

1. и исследуют их хар. на предмет нахождения верт. асимптот.

2. Вычисляют lim (x)/x=k₁  и

^x+

lim (x)/x=k₂ 

^x–

если хотя бы один из этих пределов , продолжают исследовать, вычисляя предел lim ((x)–kx)=b₁ и

^x+

lim ((x)–kx)=b₂

^x–

тогда x+, y=k₁x+b₁

x–, y=k₂x+b₂

Замечание.

если k₁=0, но lim ((x)–kx)=b₁  график ф-и имеет гориз.

^x+

асимптоту y=b₁ при x+.

1.26. Признак монотонности. Схема исследования на монотонность.

Определение 1.

Ф-я y=(x) называется монотонно возраст. на [a,b], если она опред. на этом отрезке и для x₁< x₂[a,b] выполняется (x₁)<(x₂).

Определение 2.

Ф-я y=(x) называется монотонно убывающ. на [a,b], если она опред. на этом отрезке и для x₁< x₂[a,b] выполняется (x₁)>(x₂).

Определение 3.

Ф-я y=(x) называется неубывающ. на [a,b], если она опред. на этом отрезке и для x₁< x₂[a,b] выполняется (x₁)(x₂).

Определение 4.

Ф-я y=(x) называется невозраст. на [a,b], если она опред. на этом отрезке и для x₁< x₂[a,b] выполняется (x₁)(x₂).

Признак монотонности.

Если ф-я (x) дифф. на [a,b] и (x)>0 для x(a,b)  (x) – монотонно возрастает на [a,b] ()

если (x)<0 для x(a,b)  (x) 

Док-во:

возьмем 2 произвольные точки x₁< x₂(a,b) и предположим, что (x)>0

Док-м, что (x) 

применим к [x₁;x₂] формулу Лагранжа

(x₂)–(x₁)='()(x₂–x₁)>0

(x₂)>(x₁)  (x) – возраст. ф-я

аналогично доказывается убывание

Замечание.

Если (x)0 на (a,b)  (x) – неубывающая ф-я.

Если (x)0 на (a,b)  (x) – невозрастающая ф-я.

2.13. Формула Ньютона-Лейбница.

Из теоремы о существовании первообр. можно получить формулу для вычисления определенного интеграла:

рассм. I(x)=^x_a(t)dt

из св-в первообр. следует, что любая другая первообр. F(x) ф-и (x) отличается от I(x) на const, т.е. имеет место равенство

I(x)=^x_a(t)dt=F(x)+C

полагаем x=a  I(a)=^a_a(t)dt=0=F(a)+C  C=–F(a) и

^x_a(t)dt=F(x)–F(a)

полагаем x=b  ^b_a(x)dx=F(b)–F(a) (2)

формула Ньютона-Лейбница

F(x) – какая-либо первообр. ф-и (x)

Определенный  можно вычислять по формуле Ньютона-Лейбница, когда подынтегральная ф-я (x) имеет F(x) в классе элем. ф-й и при этом F(x) дифференцируема на [a,b].

2.9. Методы интегрирования иррац. ф-й вида R(x,^kax+b), R(x,ax²+bx+c).

1. R(x,ⁿax+b, ^max+b)dx

данное выражение приводится к  от алгебраич. дроби путем введения новой переменной

t=^kax+b, k=HOK(m,n)

Пример.

…

2. R(x,ⁿ(ax+b)/(cx+d))dx

t= ⁿ(ax+b)/(cx+d)

3. R(x,ax²+bx+c)dx

t=½(ax²+bx+c)'=ax+b/2

ax²+bx+c=t²+

след. подстановки приводят к рац. тригоном. ф-ям

1. t²+k²  t=k tg z

2. t²–k²  t=k/cos z (k/sin z)

3. k²–t²  t=k cos z (k sin z)

частные случаи:

dx/(ax²+bx+c)

путем выделения полного квадрата этот  приводится к виду 11 или 15

(Ax+B)dx/(ax²+bx+c)

t=(ax²+bx+c)'

далее разбивается на сумму 2-х табличных интегралов

Но можно сделать проще:

выделим в числителе производную квадратного 3-хчлена

(5x+3)dx/(x²+2x+7)=[5/2(2x+2)–2]dx/(x²+2x+7)=

(x²+2x+7)'=2x+2 u'dx/u=du/u=2u

=5/2(x²+2x+7)'dx/(x²+2x+7)–2dx/(x²+2x+7)=5(x²+2x+7)–2dx/[(x+1)²+6]=…