2.5. Формула интегрирования по частям и ее применение к конкретным типам подынтегральных ф-й: Pn(X)ln X, Pn(X)sin bx, Pn(X)cos bx и т.Д., где Pn(X) – многочлен n-ой степени.

Пусть u=u(x) и v=v(x) – непр. дифф. ф-и, тогда имеет место т.н. формула интегрирования по частям.

udv=uv­–vdu (1)

Док-во:

Рассм. d(uv)=vdu+udv и возьмем  от обеих частей

d(uv)=vdu+udv

по св-ву 2

uv=vdu+udv

перепишем эту формулу в виде (1)

Основные классы ф-й, интегр. по частям

Формула (1) применяется в тех случаях, когда (x) имеет вид

1. e^x

(x)=P_n(x) sinx

cosx

по виду подынтегр. ф-и подбирается u и dv

в частности, в случае 1

u=P_n(x)

e^x dx

dv= sinx dx

cosx dx

Пример.

(x²+1)e^xdx= u=x²+1 = v=e^x =(x²+1)e^x–2 e^xxdx= x=u =

e^xdx=dv du=2xdx e^xdx=dv

= du=dx=(x²+1)e^x–2xe^x+2e^xdx=(x²+1)e^x–2xe^x+2e^x+C

v=e^x 

Замечание.

Если (x) содержит P_n, то формула 1 применяется ровно n раз (принцип понижения степени многочлена).

2. ln x

(x)=P_n(x) arcsin x



arcctg x

В данном случае в качестве u берется

ln x dx

u= arcsin x dx



arcctg x dx

Пример.

(x²+1)ln x dx= u=ln x, du=dx/x = (x²+1)dx=dv, v=x³/3+x

=ln x(x³/3+x)–(x³/3+x)dx/x=ln x(x³/3+x)–x³/9–x+C

3. sinx

(x)=e^x 

cosx

для решения интегралов подобного вида используют т.н. метод уравнения. Продемонстрируем это на примере

I=e^xsin x dx=–e^xcos x+e^xcos x dx=–e^xcos x+e^xsin x–e^xsin x dx

e^x=u  du=e^xdx e^x=u  du=e^xdx

sin x dx=dv  v=–cos x cos x dx=dv  v=sin x

I=–e^xcos x+e^xsin x–I 

2I=–e^xcos x+e^xsin x 

e^xsin x dx=½e^x(sin x–cos x)+C

Если при применении формулы интегр. по частям неизв.  появляется в ходе вычислений с каким-либо коэфф. 1б то его находят по методу решения уравнений.

2.17. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.

Рассм. полярные координаты точки

=OM

–угол поворота

R=OM от оси Ox

OMN: ON=x, NM=y, OM=x²+y²

(1) x=cos

y=sin

[0;+]

02

 (поляр. радиус) и  (поляр. угол) – поляр. координаты точки M

Формулами (1) связаны полярные координаты с прямоугольными.

 =x²+y²

tg =y/x

пусть обл. D ограничена 2-мя лучами, выходящими из полюса под углами  и , и кривой, заданной уравнением =(x)

=; =

D – криволинейный сектор

поставим задачу о вычислении его площади.

Для этого разобьем AOB лучами ₀=<₁<₂<…<_n= на n частей, при этом сектор разобьется на n секторов.

рассм. сектор, ограниченный лучами _i-1=_i

раствор луча _i=_i–_i-1

н а отрезке [_i-1;_i] выберем точку _i и проведем луч =_i до пересечения с границей сектора

вычислим (_i) и построим круговой сектор с этим радиусом

обозначим площадь круг. сектора через S_i=½²(_i)_i

составим сумму площадей n круг. секторов

_{n n}

S_i=½²(_i)_i (2)

^{i=1 i=1}

=max _i и рассм. предел интегр. суммы (2)

_{n n}

lim S_i=½lim ²(_i)_i

^{0 i=1 i=1}

этот предел существует, т.к. сектор ограничен непр. ф-ей =()

в силу этого, этот предел принимают за площадь криволин. сектора и обозначают

S=½ ^x_a²d (3)