1.14. Непрерывность осн. Элем. Ф-й.

Имеет место теорема: все элем. ф-и непрерывны в обл. опред.

Док-м эту теорему поэтапно: вначале док-м непрерывность осн. элем. ф-й.

1. y=const

y=0  x непрерывность установлена.

2. y=x

y=x

lim y=lim x=0  x непр-ть уст-на, исходя из опред.

^{x0 x0} (если непр-ть уст-на в любой точке мн-ва,

то говорят, что ф-я непр. на данном мн-ве)

3. y=xⁿ, nN

y=xxx…x

^{n раз}

каждая ф-я непр., след. и их произведение непрерывно

4. y=sin x

Док-м непр. этой ф-и этой ф-и для x

x+x

y=sin(x+x)–sin x=2sin(x/2)cos(x/2+x)

lim y=2lim[sin(x/2)cos(x/2+x)]=0

^{x0 x0 б.м. огранич.}

ф-я непр. в x

5. y=cos x

y=cos x=sin(/2 – x)=sin u, u=/2 – x

ф-я u непр. в  точке,

sin u тоже непр. в  точке 

y=cos x – непр. ф-я (по теореме о сложной ф-и)

6. y=tg x

tg x=(sin x)/(cos x), cos x0  как дробь ф-я непр. повсюду, где cos x0 (по теор. об арифм. операциях над непр. ф-ями)

7. y=ctg x

аналогично y=tg x

8. y=a^x, a>0

составим y=a^x+x–a^x=a^x(a^x–1)

для  фиксированного x a^x–огранич. величина, (a^x–1)0 при x0  y0 при x0

9. y=log_ax

эта ф-я обратная к ф-и y=a^x, y=a^x – монотонна и непр.  по теор. о непр. обр. ф-и y=log_ax – непрерывная ф-я

10. y=arcsin x, |x|1

y=arccos x, |x|1

y=arctg x, x

y=arcctg x, x

непрерывны по теор. о непр. обратной ф-и

11. y=x^, R, x>0

y=e^{ln x^}=e^{ ln x}=e^u, u= ln x

эта ф-я непр. по теор. о непр. сложной ф-и

На основании вышесказанного делаем утверждение: все элем. ф-и в обл. опред.

Действительно, элем. ф-я получается из основных элем. с помощью арифм. действий и функциональных композиций. А эти операции не нарушают непр. ф-и в силу соотв. теорем.

1.22. Дифференцирование ф-й, заданных параметрически.

П усть с течением времени меняются координаты M по закону

x=(t)

(1)  y=(t)

tT

Если (t) и (t) непр. на T и, кроме того, (t) – монотонна на T, то (1) задает ф-ю в параметрической форме.

Эта ф-я может быть формально записана в явном виде через переменную x

x=(t) – монотонна и непр.  t=^-1(x)  y=[^-1(x)]=(x)

Но не всегда (в большинстве случаев) удается найти обратную ф-ю t. Поэтому переход от парам. к явному заданию не всегда возможен.

x=e^{t^2} t²=ln x x=t⁵+t³

 t=ln x 

y=e^t y=e^{ln x} y=e^t

Пусть ф-я y=(x) задана парам.

x=(t)

 y=(t)

tT

tT  x_t' и y_t', кроме того, (t) – монотонная ф-я

Можно найти производную dy/dx не выражая t как ф-ю x

Утверждение: dy/dx='(t)/'(t), tT

Док-во:

будем считать, что из уравнения x=(t)  t=^-1(x) (по св-ву обратной ф-и)  y=(t)=[^-1(x)]

по правилу дифф. сложной ф-и

dy/dx=_t'(^-1(x))_x'=_t't_x'

по теореме о дифф. обратной ф-и

t_x'=1/x_t'=1/'(t)  dy/dx=_t'/_t' (1)

Пример: x=t³+t²–e^t=(t)

 y=sin t³=(t)



dy/dx=_t'/_t'=(3t³cos t³)/3t²+2t–e^t)

в этом случае dy/dx также задается парам. в виде соотношения

dy/dx='(t)/'(t)=(t)

(2) x=(t)

 tT

из системы (2) можно найти производную 2-го порядка от ф-и, заданной парам.

d²y/dx²=_t'/_t'=(t)

 x=(t)  d³y/dx³='(t)/'(t) и т.д.



По схеме (1) можно находить производные любого порядка

Пример2: x=t³+t

 y=e^t

 y"

y'=y_t'/x_t'=e^t/(3t²+1)

y"=[e^t/(3t²+1)]'/x_t'=[(e^t(3t²+1)–6te^t)/(3t²+1)²]/(3t²+1)=

=[e^t(3t²+1–6t)]/(3t²+1)³.