II. О единственности предела.

Если при xa (x) имеет предел, то он единственный.

!lim (x)=b.

^xa

Док-во: от противного:

пусть при xa ф-я (x) имеет 2 предела b₁b₂

Рассмотрим U_(a) |(x)-b|<  –<(x)–b₁< 

1. b₁–<(x)<b₁+

2. |(x)–b₂|<  b₂–<(x)<b₂+.

На пересечении окрестностей U_1 и U_2 выполняются оба неравенства ((1) и (2)), из кот. следует, что (x)<b₁+

(x)<b₂–.

Пришли к противоречию, след. 2-х пределов нет.

III. О пределе промежуточной функции.

Если в U(a) (x)(x)(x)

lim (x)=lim (x)=b 

^xa

lim (x)=b

^xa

Док-во:

выберем произв. >0 и по заданному  построим -окрестности

U_1(a): b-<(x)<b+ (1)

U_2(a): b-<(x)<b+ (2)

U(a): (x)<(x)<(x) (3)

На U_1(a)U_1(a)U(a) выполняются все неравенства ((1) (2) (3)). Из сравнения этих неравенств следует

U_1U_1U

b-<(x)(x)(x)<b+

b-(x)b+  |(x)-b|<.

IV. Арифметические операции над пределами.

1. lim C=C

^xa

2. если lim (x)=A< и lim (x)=B<

   1. lim []=A+B

^xa

2. lim []=AB

^xa

3. lim [/]=A/B, B0

^xa

Док-во:

a) если ф-я имеет предел, то

(x)=A+₁(x), ₁(x)0, xa

(x)=B+₂(x), ₂(x)0, xa,

тогда (x)+(x)=A+B+(₁+₂)=A+B+(x), (x)0, xa,

тогда по теореме 2 сумма имеет пределом число A+B

b)(x)(x)=(A+₁)(B+₂)=AB+₁B+₂A+₁₂

^б.м.

c)(x)/(x)=(A+₁)(B+₂)/(B²+2B₂+₂²)=

^{б.м. б.м.}

=(AB+A₂+B₁+₁₂)/B²=AB/B²=A/B

Следствие 1.

Константу можно выносить за знак предела.

lim C(x)=Clim(x)

^{xa xa}

Следствие 2.

limⁿ(x)=[lim(x)]ⁿ, nN

^{xa xa}

lim^(x)=[lim(x)]^, R

^{xa xa}

Пример.

lim (x³+1)/(x+2)=2/3

^x1

Вычисление пределов производится при использовании арифм. св-в пределов только в случае выполнения всех условий теоремы. Если эти усл. теор. не выполняются, то мы имеем дело с т.н. неопределенностями

–=? += 0/=0

0=? = 1/=0

0/0=? /0= 1/0=

/=?

1.10. Опред. Непрерывности ф-и в точке.

Рассм. ф-ю y=(x) на X. Пусть x₀ назыв. точкой непрерывности ф-и (x), если:

1. ф-я опред. в некоторой окрестности этой точки, включая саму точку, т.е. (x₀)

2. lim(x₀)

^xx0

3. lim(x)=(x₀)

^xx0

Можно дать опред. непрерывности на языке “-”:

ф-я (x) назыв. непрерывной в точке x₀, если:

1. она опред. в некот. окрестности этой точки, включ. саму точку

2. для >0 _>0: из 0<|x-x₀|<  |(x)-(x₀)|<0

Существует 3-е опред. непрерывности – опред. на языке приращения:

обозначим x–x₀=x

y–y₀=(x)­–(x₀)=y.

y=(x) называется непрерывной в точке x₀, если б.м. приращ. аргумента соотв. б.м. приращ. ф-и, т.е. limy=0.

^x0

Можно показать равносильность этих опред.

Введем понятие односторонних пределов ф-и.

b назыв. правостор. пределом ф-и, если >0 U_(a+0): xU_(a+0) выполняется |(x)-b|<

l im (x)=b

^xa+0

b назыв. левостор. пределом ф-и, если >0 U_(a–0): xU_(a–0) |(x)-b|<

lim (x)=b

^xa–0

Утверждение: для того, чтобы ф-я (x) имела конечный предел при xa, необходимо и достаточно равных конечных одностор. пределов.