1.2. Классиф-ия ф-й и способы их задания.

I. Определения и способы задания ф-й.

Рассм. 2 мн-ва X и Y, и пусть xX поставлено в соответствие по правилу  единственное значение yY. На мн-ве X задана ф-я y=(x). (xX–y!Y).

x – независимая перем. (аргумент);

y – зависимая перем. (функция);

X – называют обл. опред. ф-и, а обл. {y=(x)} – мн-вом значений.

{y=(x)}Y либо {y=(x)}=Y.

Пример. y=sin(x);

xR–siny![-1;1].

Ф-ю можно задавать:

1. Аналитически — y=e^x.

2. Графически —

3. Табличным способом —

x	x1	x2	…	xn	xn+1
y	y1	y2	…	yn	yn+1

II. Общие св-ва функции.

1. Св-ва четности.

y=(x) называется четной, если:

1. X – симм. мн-во, т.е. xX  -xX;

2. y(-x)=y(x).

Г рафик четной ф-и симм. относит. оси Oy

M(x,y)L_  M'(-x,y)L_

y=(x) называется нечетной, если:

3. X – симм. мн-во, т.е. xX  -xX;

4. y(-x)=-y(x).

Г рафик четной ф-и симм. относит. начала координат

M(x,y)L_  M'(-x,-y)L_

Ф-и, не явл. четными или нечетными, называются ф-ями общего вида.

2. Периодичность.

y=(x) называется периодичной, если T0: (xT)=(x), xTX.

Периодом ф-и называется наименьшее положительное T.

3. Классификация ф-й.

Все ф-и делятся на элем. и неэлем. Основу элем. ф-й составляют простейшие элем. ф-и.

1. y=C, x;

2. y=x^, R, X=(0; +);

3. y=a^x, a>0, a1;

4. y=log_ax, a>0, a1, X=(0; +);

5. тригонометрические ф-и;

6. обратные тригонометрические ф-и.

Если над простейшими элем. ф-ями проведены операции арифм. действий, а также функциональных композиций, взятых конечное число раз, то результатом будет элем. ф-я.

y=ln(sin(x)) – сложная элем. ф-я, кот. можно представить в виде цепочки простейших.

u=sin(x); y=ln(u).

Пример. y=arctg(x³)

u=x³; t=arctg(u); y=t=t^1/2.

y=|x|=x².

Над элем. ф-ями существует след. классификация:

1. Целые рациональные ф-и.

y=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+ a_n; a₀, a₁, a_n – nN

это класс многочленов;

2. Дробные рациональные ф-и – отношения 2-х многочленов.

y=(P_n(x))/(Q_m(x)).

Ф-и 1-го и 2-го видов составляют класс рациональных ф-й.

3. Иррациональные ф-и.

Если в результате действия с X появляется степень с дробным показателем, имеет место иррац. ф-я.

Рациональные и иррациональные ф-и образуют класс алгебраических ф-й;

4. Трансцендентные ф-и – элем. ф-и, не относящиеся к алгебраическим.

y=e^sin(x); y=sin²(x);

Функции, не относящиеся к элементарным, называются неэлементарными.

 x, x<0;  1, x>0;

y=  0, x=0; y=sgn(x)= 0, x=0;

 sin(x), x>0.  -1, x<0.

y=E(x) – целая часть x;

y=x–E(x) – дробная часть x.

y=E(x); Если kx<k+1 E(x), kZ.

1.6. Основные теоремы теории пределов.

I. О представлении ф-и, имеющей предел.

Для того, чтобы ф-я (x) имела конечный предел b, необходимо и достаточно выполнение равенства, где (x)0, xa в U_(a).

(x)=b+(x), (x)0, xa.

Док-во: достаточность:

U(a) (x)=b+(x), (x)0, xa

|(x)-b|=|(x)|< U_(a), т.к. (x) - б.м. по опр. предела lim (x)=b.

^xa

Вывод: В окрестности предельной точки ф-ю, имеющую конечный предел можно представить в виде: предел + б.м.