2. Індивідуальний вибір

Розглянемо індивідуальний вибір рішень для задач з однією метою і декількома ситуаціями, тобто задачі типу ІS. Постановка задачі вибору полягає в наступному. Нехай є кілька ситуацій S = (S1, ..., Sn) з ймовірностями їхньої появи p = (p1, ..., pn) і безліч припустимих рішень Yд = (Y1, ..., Ym). Зроблено вимір переваг рішень на безліч ситуацій, тобто визначені значення функції переваги f(Yі, Sj) = fіj (і = 1, m, j = 1, n).

Наявність альтернативних ситуацій породжує невизначеність вибору оптимального рішення. Для усунення цієї невизначеності можна використовувати два шляхи.

Перший з них полягає в тому, що для кожної окремо узятої ситуації визначається своє оптимальне рішення. Застосувань конкретного рішення пов'язано з появою конкретної ситуації. Очевидно, що цей шлях можливий тільки у випадку, коли можна чекати появи конкретної ситуації. Характерним прикладом такого підходу є інструкція дій при виникненні пожежі.

Другий шлях усунення невизначеності застосовується у випадку, коли рішення повинно бути прийняте до одержання інформації про те, яка ж у дійсності ситуація має місце. Сутність цього шляху полягає в обліку впливу всіх ситуацій на вибір оптимального рішення. Можливі різні способи обліку цього впливу, що відрізняються між собою характером прийнятої стратегії дії ОПР і вибором конкретного критерію оптимальності.

Розрізняють три види стратегій: обережна (песимістична), оптимістична і раціональна (розрахована на середні умови). При обережній стратегії ОПР керується девізом "розраховуй на гірше". Відповідно при оптимістичній стратегії дій ОПР керується девізом "розраховуй на краще". Девізом дій ОПР при раціональній стратегії є "розраховуй на найбільш ймовірні умови". Вибір того чи іншого виду стратегії здійснює ОПР на основі характеру розв'язуваної проблеми, сформульованих цілей і індивідуальних особливостей свого мислення.

Кожному виду стратегії можна поставити у відповідність сукупність критеріїв вибору оптимального рішення. Тому вибір ОПР визначеної стратегії поводження звужує можливий вибір критеріїв до групи, що відповідає даній стратегії. Критерій вибору однозначно визначає правило вибору оптимального рішення. Слід зазначити, що однозначність правила вибору не гарантує одержання єдиного оптимального рішення, їх може виявитися декілька.

У якій відповідності знаходиться критерій вибору оптимального рішення і ціль рішення проблеми? Тієї ж самої цілі можна досягти, діючи обережно, чи ризиковано раціонально. При цих стратегіях у залежності від проблемної ситуації можна одержати різний ступінь досягнення мети. Ціль визначає бажаний кінцевий результат чи стан. Стратегія вибору - це характер поводження ОПР при досягненні мети. Критерій вибору - це конкретизація характеру дій, поводження ОПР. Нарешті, оптимальне рішення - це сама дія по досягненню мети. Таким чином, для досягнення однієї і тієї ж мети в залежності; від вибору стратегії і конкретного критерію може бути визначене різне оптимальне рішення.

Розглянемо типові критерії вибору оптимального рішення для трьох видів стратегії поводження. Для уніфікації викладу цих критеріїв поставимо у відповідність кожному рішенню Yі чисельний коефіцієнт важливості рішення і. У залежності від виду критерію змістовний зміст коефіцієнтів важливості рішень буде різним, але загальне правило вибору оптимального рішення можна записати для всіх критеріїв у тому самому вигляді.

Цей запис означає, що необхідно з множини чисел і вибрати екстремальне число (операція extremum) і по номеру цього числа визначити, яке з альтернативних рішень є оптимальним (оскільки номер рішення збігається з номером коефіцієнта рішення).

Якщо коефіцієнти важливості рішень визначені так, що чим більше їхнє значення, тим краще рішення, то операція перебування экстремума відповідає операції перебування максимуму, тобто в. цьому випадку співвідношення (5.1) має вид

Цей запис означає, що із сукупності чисел _i; знаходиться найбільше число (операція перебування max) і відповідно до номера цього числа визначається оптимальне рішення.

Якщо коефіцієнти важливості рішень визначені так, що чим менше їхнє значення, тим більше значиме рішення, то операція перебування экстремума перетворюється в операцію перебування мінімуму. У цьому випадку співвідношення (5.1) має вид

Відповідно до цього виразу з множини чисел і знаходиться найменше число, по якому і визначається оптимальне рішення.

Критерій песимізму є типовим представником сукупності критеріїв, що відповідають обережній стратегії поводження [25]. Застосування критерію песимізму не вимагає знання ймовірностей ситуацій, і в цьому його перевага, оскільки часто ці імовірності невідомі.

Для того, щоб використовувати загальне правило вибору оптимального рішення в окремому випадку критерію песимізму, необхідно визначити коефіцієнти важливості рішень. Для кожної k-й цілі мається оцінка переваги цього рішення в кожної j-й ситуації. Оскільки критерій песимізму відповідає правилу "розраховуй на гірший випадок", то в якості коефіцієнта важливості і-го рішення варто вибрати найгірше значення функції переваги по всіх ситуаціях. Якщо функція переваги виміряється так, що її найкращому значенню відповідає найбільше число, то, очевидно, найгірше значення переваги є її найменше значення. Тому обчислення коефіцієнтів важливості рішень виробляється по співвідношенню

Це означає, що для і-го рішення вибирається по всім j-м ситуаціях найменше значення функції переваги.

Використовуючи загальне правило рішення (5.2) і співвідношення (5.4), правило знаходження оптимального рішення за критерієм песимізму можна записати у вигляді

Відповідно до цього правила послідовно виконуються операції знаходження мінімального значення функції переваги у всіх ситуаціях, а, потім з отриманих чисел знаходиться максимальне число, номер якого і визначає оптимальне рішення. Критерій песимізму, виходячи з правила (5.5), називають максімінним критерієм.

При вимірі переваг у порядковій шкалі найгірша перевага по всіх ситуаціях відповідає максимальному значенню функції переваги. Отже, коефіцієнт важливості рішень при вимірі переваг у рангах обчислюється по формулі

Відповідно правило вибору оптимального рішення за критерієм песимізму при вимірі переваг у порядковій шкалі має вид

де fіj -ранг і-ro рішення в j-й ситуації. Змістовна суть операцій у співвідношенні (5.7) полягає в тому, що проглядаються ранги рішення по всіх ситуаціях і визначається найбільший ранг, тобто найгірша оцінка рішення (операція max fіj). Далі, із усіх чисел і = max fіj вибирається найменше, тобто найвищий ранг. Номер коефіцієнта важливості рішення і, що має цей найвищий ранг, вказує на оптимальне рішення.

Таким чином, оптимальне за критерієм песимізму рішення визначається шляхом відшукання для кожного рішення найгіршої оцінки по всіх ситуаціях і далі визначається з цих найгірших оцінок найкраща, котра і вказує на оптимальне рішення.

Критерій оптимізму відповідає оптимістичній стратегії вибору. Відповідно до девізу цієї стратегії "розраховуй на кращий випадок" коефіцієнти рішень визначаються як найкращі оцінки переваг по всіх ситуаціях. Якщо вимір виробляється в кількісних шкалах таким чином, що чим вище перевага, тим більше відповідне йому число, то коефіцієнти важливості рішень визначаються в такий спосіб:

де fjj - значення функції переваги, виміряні в кількісній шкалі, які відображають корисності і-ro рішення в j-й ситуації. Відповідно до загальної форми правила вибору рішення (5.2) правило вибору рішення, що відповідає критерію оптимізму, має вигляд

Якщо вимір переваг виробляється в порядковій шкалі і fіj є ранг і-ro рішення в j-й ситуації, то коефіцієнти важливості рішень обчислюються шляхом, застосування операції мінімуму до безлічі рангів оцінки рішення по всіх ситуаціях:

Правило вибору рішення у випадку виміру переваг у рангах і критеріях оптимізму має наступний вигляд:

Як випливає з правила вибору оптимального рішення за критерієм оптимізму, в якості вихідної інформації використовуються тільки значення функції переваги, тобто оцінки рішень по досягненню мети в різних ситуаціях. Значення ймовірностей ситуацій при цьому критерії вибору, так само як і при критерії песимізму, не потрібно. Це є позитивною властивістю даного критерію вибору.

Критерій максимуму середнього виграшу є представником групи критеріїв, що відповідають раціональній стратегії. Загальне правило вибору рішення (5.1) чи (5.2) залишається справедливим і для цього критерію. Конкретизація виду правила вибору рішення вимагає визначення коефіцієнтів важливості рішення. Зі змістовної точки зору коефіцієнти важливості рішень при даному критерії являють собою середній виграш, одержуваний при кожнім рішенні по всіх ситуаціях.

Якщо переваги рішень на безлічі ситуацій виміряються в шкалі інтервалів (чи в шкалі відносин), то середній виграш кожного рішення обчислюється як математичне очікування виграшу:

де рk - імовірність k-й ситуації, fіk - значення функції переваги, що оцінює і-е рішення в k-й ситуації.

Розглянемо окремі випадки. Нехай вірогідність появи всіх ситуацій однакова (всі імовірності рівні між собою). Оскільки сума ймовірностей ситуацій дорівнює одиниці, то при рівності ймовірностей одержуємо, що усі вони рівні рk=1/n, де n - кількість ситуацій. У цьому окремому випадку середні виграші рішень обчислюються по формулі:

Множник 1/n не впливає на визначення максимуму, тому середні виграші рішення можна обчислити по формулі

Якщо має місце тільки одна ситуація, наприклад Sj, то її поява є достовірним і, отже, pj = 1. Інші ситуації мають нульові імовірності появи: рk = 0, jk. У цьому випадку середні виграші рішень безпосередньо дорівнюють значенням функції переваги для j-й ситуації

Розглянемо тепер вимір функції переваги в порядковій шкалі, який здійснюється методами ранжирування чи парного порівняння. У випадку ранжирування завжди можна його результати представити у виді матриці парних порівнянь з елементами

де f(Yі) - ранг і-го рішення. Тому надалі критерій максимуму середнього виграшу будемо розглядати для випадку виміру переваг рішень методом парних порівнянь.

При кожній k-й ситуації результати оцінки переваг представляють собою матрицю парних порівнянь з елементами ||xkіj|| (k = l, n). Сукупність матриць парних порівнянь можна розглядати як точки в просторі ранжирування рішень. У цьому просторі можна ввести поняття відстані між точками - матрицями парних порівнянь як число розбіжностей значень елементів матриць. Відстань між двома матрицями парних порівнянь обчислюється по формулі

де dks - відстань між матрицями парних порівнянь рішень, отриманих для k-й і s-й ситуацій, xkіj - іj-й елемент матриці для k-й ситуації.

Для побудови середньої матриці парних порівнянь ||yіj|| скористаймося умовою мінімуму сумарної відстані цієї матриці від матриць парних порівнянь для всіх ситуацій

де р.k - імовірності ситуацій. Обчислимо операцію мінімуму шляхом вибору елементів yіj шуканої середньої матриці. З огляду на те, що величини xkіj, yіj можуть приймати значення тільки нуля чи одиниці, представимо модуль різниці як квадрат різниці

Зведемо вираз в круглих дужках у квадрат і візьмемо до уваги, що

В результаті отримаємо

При заданих матрицях парних порівнянь рішень перший член у цьому виразі є постійним. Тому мінімальне значення суми відстаней відповідає максимальному значенню другого члена, тобто умові (5.18) відповідає умова

Максимальне значення суми досягається вибором значень yіj за наступним правилом:

У справедливості можна переконатися безпосередньо перевіркою цього правила. Дійсно, якщо сума добутків Рkxkіj менше 1/2, то для одержання максимального значення необхідно покласти yіj = 0. Якщо ж сума добутків pkxkіj більше 1/2, то варто прийняти yіj = 1.

Обрані за правилом (5.21) елементи середньої матриці забезпечують мінімальну віддаленість у просторі ранжувань цієї матриці від матриць парних порівнянь переваг рішень для всіх ситуацій з урахуванням ймовірностей цих ситуацій.

Обчислення коефіцієнтів середнього виграшу рішень виробляється з використанням елементів yіj по формулі

Таким чином, процедура обчислення коефіцієнтів важливості рішень полягає в множенні кожної матриці парних порівнянь рішень на свою імовірність ситуації, додаванні отриманих після множення матриць, порівнянні кожного елемента сумарної матриці з порогом 1/2, і якщо він більше чи дорівнює порогу, то заміняється одиницею, у іншому випадку - нулем. Далі визначається сума елементів (одиниць) у кожної і-й рядку матриці ||yіj|| і поділяється на загальну суму одиниць у матриці [значення знаменника у формулі (5.22)]. Отриманий результат ділення і є коефіцієнтом важливості і-го рішення.

Отримані значення коефіцієнтів рішень для критерію максимуму середнього виграшу дозволяють використовувати загальне правило вибору (5.2) для визначення оптимального рішення.

Слід зазначити, що критерій максимуму середнього виграшу може бути використаний і у випадку, коли є всього одна ситуація, але реалізація рішень здійснюється з визначеними ймовірностями. У цьому випадку оцінки переваг рішень відповідають умові ідеальної реалізації рішень. Оскільки в дійсності кожне рішення може дати очікуваний ефект тільки з визначеною імовірністю, то очікувана корисність кожного рішення визначається як добуток значення функції переваги на імовірність реалізації рішення. Це означає, що для подібного роду задач можна використовувати критерій максимуму середнього виграшу і відповідне йому правило рішення. Імовірності ситуацій у формулах (5.12), (5.21) при обчисленні очікуваної корисності повинні бути замінені на імовірності реалізації рішень.

Критерій песимізму-оптимізму (часто називається критерієм Гурвіца) також є різновидом раціональної стратегії вибору рішень. Застосування цього критерію не вимагає знання ймовірностей ситуацій. Даний критерій являє собою зважену комбінацію критеріїв песимізму й оптимізму. Правило вибору оптимального рішення за критерієм песимізму - оптимізму має вигляд

де fіj - значення функції переваг при оцінці і-го рішення в j-й ситуації, виміряні в кількісній шкалі так, що чим більше перевага, тим більше значення числа; h - коефіцієнт ваги песимізму, що змінюється в діапазоні 0  h  1. При h = 0 критерій песимізму-оптимізму перетворюється в критерій оптимізму. При h = 1 відповідно маємо критерій песимізму. Вибір значення коефіцієнта ваги песимізму здійснює ОПР у відповідності зі своїми уявленнями про частку оптимізму і песимізму при виборі рішення.

Відмітимо, що вираз в квадратній дужці (5.23)- коефіцієнти рішень у випадку критерію песимізму-оптимізму:

Якщо переваги виміряються в порядковій шкалі і величини fj- є рангами, то використання критерію песимізму-оптимізму для вибору оптимального рішення полягає в наступному. Визначаються коефіцієнти важливості рішень для критерію песимізму відповідно до формули (5.6) і по них виробляється ранжування рішень. Далі обчислюються коефіцієнти важливості рішень для критерію оптимізму по формулі (5.10) і по них виробляється ранжування рішень. У результаті маємо два ранжування рішення: одна - за критерієм песимізму, інша - за критерієм оптимізму. Ці ранжування перетворяться в матриці парних порівнянь за правилом (5.16). Матриця парних порівнянь, що відповідає критерію песимізму, збільшується на коефіцієнт h, а матриця парних порівнянь для критерію оптимізму - на коефіцієнт 1-h. Отримані в результаті множення на коефіцієнти матриці складаються. Далі в отриманій матриці елементи заміняються на нуль чи одиницю за правилом

де х1іj - елементи матриці парних порівнянь рішень для критерію песимізму, x2іj - елементи матриці парних порівнянь рішень для критерію оптимізму.

Коефіцієнти важливості рішень для критерію Гурвіца обчислюються з використанням елементів yіj по формулі

Оптимальне рішення для критерія Гурвіца визначається шляхом знаходження максимального значення коефіцієнта важливості. Номер цього коефіцієнта відповідає номеру оптимального рішення.

У ряді випадків ОПР утрудняється обґрунтовано вибрати критерій одержання оптимального рішення. У цих випадках доцільно провести аналіз різних критеріїв. Для цього необхідно за різними критеріями вибрати оптимальні рішення, визначити, збігаються чи розрізняються між собою ці рішення, і оцінити вплив критеріїв на вибір оптимального рішення. Такий аналіз дозволяє ОПР більш свідомо і логічно вибирати критерій і відповідне йому оптимальне рішення.