К вычислению коэффициентов прямой линии зависимости массы семян у сортов ячменя от продолжительности их вегетации

X	Y	x- Mx	(x- Mx)2	y- My	(x- Mx) (y- My)	(y-My)2
90	47,50	15	225	3,777	+56,655	14,266
85	46,75	10	100	3,027	30,270	9,163
80	45,75	5	25	2,027	+10,135	4,109
75	42,85	0	0	-0,873	0	0,762
70	44,76	-5	25	1,037	-5,185	1,075
65	41,44	-10	100	-2,283	+22,83	5,212
60	37,0	-15	225	-6,723	+100,845	45,199
525	306,05	0	700		+215,55	79,786

M_y и М_х –средние арифметические рядов у и х. М_х= 525/7=75 дней; М_у=306,05/7=43,723 г.

а₁=215,55/700=+0,30793; а₀=43,723 – 0,30793 х 75 = 20,628.

Ошибка уравнения и точки пересечения прямой с осями координат вычисляются по ранее приведенным формулам: у = а₀,

х = - (а₀/а₁).

Если известны средние квадратические отклонения рядов х и у и коэффициент корреляции между ними, то величины коэффициентов а₁ и а₀ уравнения прямой линии, не вычисляя точек эмпирической линии регрессии, можно определить по формулам: или где а₁ – коэффициент регрессии при аргументе х; r_xy - коэффициент корреляции между признаками х и у; сигмы рядов у и х в исходных единицах; s_y, s_x – сигмы тех же рядов в классовых интервалах; с_у и с_х – классовые интервалы рядов у и х. Свободный член а₀ вычисляется по формуле

8.2. Уравнение множественной регрессии

Аналитическим выражением многофакторных связей являются уравнения множественной регрессии. В рассматриваемом примере, предложенном Г. Н. Зайцевым о высоте растений, массе 1000 семян и урожайности сои связь между факторами оказалась недостаточно тесной (табл. 19). В данном случае целесообразно искать параметры уравнения, выражающего зависимость массы семян от двух других факторов:

где у- функция, зависимая переменная, масса 1000 семян; а₀, а₁, а₂ – коэффициенты уравнения; х – высота растений (в см) и z- урожайность сои (в ц/га)- независимые переменные.

Таблица 20

Зависимость массы 1000 семян (у) от высоты растений (х)

и урожайности (z) у сои (у^, - теоретические значения массы семян)

х, см	z, ц/га	у, г	у,, г	х - Мх	z - Mz	y- My
66	16	199	214,3	1,462	-4	-21,62
44	17	200	208,3	-20,538	-3	-20,62
77	15	210	216,5	12,462	-5	-10,62
63	20	212	220,1	-1,538	0	-8,62
62	19	217	218,0	-2,538	-1	-3,62
73	12	218	210,0	8,462	-8	-2,62
64	23	218	225,5	-0,538	3	-2,62
74	27	223	235,8	9,462	7	2,38
63	19	225	218,4	-1,538	-1	4,38
74	25	234	232,4	9,462	5	13,38
54	25	235	225,4	-10,538	5	14,38
43	25	235	221,5	-21,538	5	14,38
82	17	242	221,7	17,462	-3	21,38
				+0,006	0	0,06

Для получения коэффициента уравнения множественной регрессии требуется, например, по предлагаемому способу, решить систему трех

нормальных уравнений, полученных по методу наименьших квадратов:

Для решения уравнений вычислим необходимые суммы (Табл.21).

Таблица 21

Суммы квадратов и произведений высоты, массы и урожайности

Высота, см, х	Масса зерен, г, у	Урожайность, ц, га	х2	у2	z2	xy	xz	yz
62	217	19	3844	47089	361	13454	1178	4123
63	212	20	3969	44944	400	13356	1260	4240
73	218	12	5329	47524	144	15914	876	2616

Продолжение табл. 21

82	242	17	6724	58564	289	19844	1396	4114
66	199	16	4356	39601	256	13134	1056	3184
44	200	17	1936	40000	289	8800	748	3400
43	235	25	1849	55225	625	10105	1075	5875
54	235	25	2916	55225	625	12690	1350	5875
63	225	19	3969	50625	361	14175	1197	4275
74	234	25	5476	54756	625	17316	1850	5850
74	223	27	5476	49729	729	16502	1998	6021
64	218	23	4096	47524	529	13952	1472	5014
77	210	15	5929	44100	225	16170	1155	3150
839	2868	260	55869	634906	5458	185412	16609	57737

∑ y = 2868, ∑x=839, ∑yx=185412, ∑x²=55969, ∑yz = 57737, ∑xz = 16609, ∑z²= 5458, ∑z = 260.

1.Подставим полученные суммы в выше приведенную систему уравне-ний:

(1) 2868 = 13а₀ + 839а₁ + 260а₂,

(2) 185412 = 839а₀ + 55869а₁ +16609а₂,

(3) 57737 = 260а₀ +16609а₁ + 5458а₂.

2.Решим систему, состоящую из первого и второго уравнений, для чего разделим первое уравнение на 13, а второе – на 839 и вычтем из второго первое:

220,9916 = а₀ + 66,589 а₁+ 19,7962 а₂

-

220,6154 = а₀ + 64,5385 а₁ + 20а₂

0,3762 = 2,0515 а₁ – 0,2038а₂

3. Чтобы получить второе уравнение с двумя неизвестными, решим систему, состоящую из первого и третьего уравнений, для чего разделим первое уравнение на 13, а третье на 260 и вычтем из третьего первое:

222,0654 = а₀ + 63,8808 а₁+ 20,9923 а₂

-

220,6154 = а₀+ 64,5385 а₁ + 20а₂

1,4500= - 0,6577а₁+ 0,9923 а₂

4. Решим систему двух получившихся уравнений с двумя неизвестными:

0,3762 = 2,0515 а₁ – 0,2038а₂

1,4500= - 0,6577а₁+ 0,9923 а₂

для чего разделим первое из них на 2,0515, а второе – на 0,6577 и, сложив полученные уравнения, найдем а₂:

0,183378 = а₁ – 0,099342 а₂

+

2,20465 = -а + 1,50874 а₂

2,388028 = 1,409398 а₂

а₂ = 1,694367

5. Подставляя значения а₂ в первое уравнение из системы двух уравнений (пункт 4) с двумя неизвестными, определим а₁:

0,3762 = 2,0515 а₁ – 0,2038 х 1,6944;

а₁ = (0,3762 + 0,3453)/2,0515 = 0,3517.

6. Подставляя в первое уравнение нашей начальной системы значения а₁ и а₂, найдем а₀:

2868 = 13а₀+ 839 х 0,3517 + 260 х 1,6944;

а₀ = (2868 – 295,0763 – 440,5440)/ 13 = 164,030.

7. Уравнение регрессии:

y_xz = 164,030 + 0,3517x + 1,69436z.

8. Проверка: подставляя в первое уравнение начальной системы значения а₀, а₁ и а₂, получим:

2868 + 13х 164,030 +839 х 0,3517 + 260 х 1,69436 = 2132,3900 + 295,0763 + 440,5336 = 2867,9999.

Очевидно, что коэффициенты а₀, а₁ и а₂ определены правильно.

9. Ошибка уравнения множественной регрессии определяется по формуле:

где - ошибка теоретических значений функции у; a_y, a_x, a_z – коэффициенты уравнения множественной регрессии; N – объем ряда; n – число коэффициентов уравнения, включая свободный член.

Суммы отклонений a_y, a_x, a_z вычисляются по формулам:

Пользуясь данными табл.20, определяем средние арифметические рядов x, y, z по формуле

М_х = 839/13=64,5384; М_у=2868/13 =220,615; М_z=260/13=20,0;

Подставляя найденные величины в формулы сумм отклонений

Определены все величины, необходимые для вычисления ошибки уравнения множественной регрессии по формуле:

Таким образом, по уравнению у_xz= 164,030 +0,3517_х +1,6944_z, можно рассчитать массу 1000 семян, зная высоту растений и урожайность сои с ошибкой

Коэффициенты уравнения множественной регрессии можно найти и другими способами, например, через суммы квадратов и произведений отклонений от средней. При этом, несколько сокращается трудоемкость расчетов, так как позволяет оперировать с меньшими по абсолютной величине числами. Способ может применяться в любых случаях, но особенно он рекомендуется тогда, когда исходные данные представлены многозначными числами, а также когда одновременно желательно вычислить дисперсии, сигмы всех трех рядов и коэффициенты корреляции между ними. Рассмотрим технику вычисления, используя тот же пример, что и в первом способе (Табл. 22).

Таблица 22

Вычисление сумм для определения коэффициентов уравнения множественной регрессии (Зайцев, 1984)

(х-Мх)2	(у-Мy)2	(z-Mz)2	(х-Мх) (у-Мy)	(z-Mz) (у-Мy)	(х-Мх) (z-Mz)
1	2	3	4	5	6
2,1374	467,42	16	-31,608	86,48	-5,848

Продолжение табл. 22

421,81	425,18	9	423,49	61,86	61,614
155,3	112,78	25	-132,35	53,1	-62,31
2,3654	74,304	0	13,258	0	0
6,4414	13,104	1	9,1876	3,62	2,538
71,605	6,8644	64	-22,17	20,96	-67,696
0,28944	6,8644	9	1,4096	-7,86	-1,614
89,529	5,6644	49	22,52	16,66	66,234
2,3654	19,184	1	-6,7364	-4,38	1,538
89,529	179,02	25	126,6	66,9	47,31
111,05	206,78	25	-151,54	71,9	-52,69
463,89	206,78	25	-309,72	71,9	-107,69
304,92	457,1	9	373,34	-64,14	-52,386

1721,2

2181,2

258

315,68

377

-171

1. По данным табл. 19 вычислим средние арифметические для трех вариационных рядов: М_у=220,62; М_х=64,538; M_z=20; и следующие суммы (табл.21):

2. Найдем вспомогательные величины:

3.Коэффициент при х равен:

0,35173.

4. Коэффициент при z равен:

5.Находим свободный член уравнения множественной регрессии:

таким образом, величины всех коэффициентов практически совпадают с полученными ранее. Используя суммы из табл.21, можно вычислить сигмы всех трех рядов и коэффициенты корреляции между ними по формулам:

Коэффициенты корреляции между этими признаками совпадают с величинами коэффициентов, вычисленными другими способами.

Оценку достоверности значений коэффициентов, или, точнее, оценку достоверности их отличия от нуля, можно произвести по формулам:

где и - величины критерия Стьюдента, сравниваемые с табличными значениями, при числе степеней свободы: - ошибка уравнения по формуле:

и суммы квадратов отклонений величин x и z;

r_xz- коэффициент корреляции между рядами x и z. Величина критерия Стьюдента соответственно для коэффициентов а₁ и а₂ равна:

При числе степеней свободы и на 95% доверительном уровне t =2,228, что больше вычисленных значений. Следовательно, можно сделать заключение, что масса семян сои (у) существенно не зависит ни от средней высоты растений (х), ни от урожайности (z).