8. Регрессия

После установления наличия корреляционной связи между двумя явлениями (признаками), следует выявить закономерность количественного изменения одного из признаков (функция) при изменении другого (аргумент). Такая закономерность необходима для прогноза изучаемого явления и выяснения его критических точек. Для этого изучаемую связь необходимо выразить аналитически в виде уравнения регрессии и графически – с вычислением точек кривой по установленному уравнению. При решении этих вопросов существенно снижается трудоемкость расчетов, путем преобразования исходных данных таким образом, чтобы их величины приближались, по возможности, к первому порядку. Для этого исходные данные делятся на одно и то же число, или вычисляется из них среднее или начальное значение, а также принимаются другие единицы измерения.

8.1. Уравнение прямой линии

Уравнение прямой линии является наиболее простым для расчета способом. На примере зависимости 1000 зерен от продолжительности вегетационного периода у сортов ячменя приведем способ вычисления уравнения прямой линии, которое в общей форме имеет вид: где у^, - теоретические значения функции или зависимой переменной; х – аргумент или независимая переменная; а₀, а₁ - коэффициенты уравнения, имеющие различные значения в зависимости от специфики изучаемого явления; у –эмпирические значения зависимой переменной (табл.17).

Таблица 17

К вычислению уравнения прямой линии

Продолжит. вегетации (х)	Масса 1000 зерен (у)	х2	ух	y,	y,-y	(y,-y)2
1	2	3	4	5	6	7
90	47,50	8100	4275,00	48,3399	0,84	0,7056
85	46,75	7225	3973,75	46,8004	0,05	0,0025
80	45,75	6400	3660,00	45,2609	-0,49	0,2401
75	42,85	5625	3213,75	43,7214	0,87	0,7569
70	44,76	4900	3133,20	42,1819	-2,58	6,6564
65	41,44	4225	2693,60	40,6424	-0,80	0,6400
60	37,00	3600	2220,00	39,1029	2,10	4,4100
525	306,05	40075	23169,30	306,0498	-0,01	13,4115

Для дальнейших исследований необходимо определить величины коэффициентов а₀ и а₁. Для определения коэффициентов уравнений теоретических линий регрессии существует несколько способов. Самый точный из них это метод наименьших квадратов. Произведем вычисление коэффициентов методом наименьших квадратов.

1. В качестве исходных данных служат точки эмпирической линии регрессии, если функция и аргумент представлены взвешенными рядами. Если же выборки у и х, представлены не взвешенными рядами, то для расчета коэффициентов берутся непосредственно варианты рядов, без вычисления эмпирической линии регрессии. Требующиеся нам значения эмпирической линии регрессии х/у подсчитаны и отражены в табл. 18

Таблица 18

Вегетация в днях и масса 1000 семян в г у 214 сортов ячменя

Масса 1000 семян (у)		Продолжительность вегетации (х)
Границы	класса	57,5-62,4	62,5-67,4	67,5-72,4	72,5-77,4	77,5-82,4	82,5-87,4	87,5-87,4	fy	х/у
Середина	класса	60	65	70	75	80	85	90
55-61	58		1	2	3	7	1		14	76,8
49-54,9	52		5	8	10	11	2	2	38	75,4
43-48,9	46		7	10	17	33	3	1	71	76,3
37-42,9	40	1	8	9	20	18	1	1	58	74,6
31-36,9	34	1	4	5	10	5	1		26	73,3
25-30,9	28		3		3				6	70,0
19-24,9	22		1						1	65,0
	fx	2	29	34	63	74	8	4	N=214
	у/х	37,0	41,4	44,8	42,9	45,8	46,8	47,5

2. В табл. 17 в столбцах 1 и 2 приведены значения ряда х и у/х из табл. 17. В столбцах 3 и 4 производятся действия, суть которых ясна из заголовков столбцов.

3. Суммы, полученные в итоге (столбцы 1-4), представляем в систему двух нормальных уравнений: (1) а₀N +a₁∑y= ∑y, (2) а₀∑x +a₁∑x²= ∑xy,

получаем: (1) 7а₀ +525a₁ = 306,05, (2) 525 а₀ + 40075a₁= 23169,3.

4.Значения а₀ и а₁ находим из уравнений следующим образом. Делим число при а₀ во втором уравнении на число при а₀ в первом уравнении: 525: 7 =75; умножаем все члены первого уравнения на 75; вычитаем из второго уравнения первое:

525а₀+40075а₁=23169,3

-

525а₀+39375а₁=22953,75

700а₁=215,55, откуда а₁ =0,3079. Подставляя найденное значение а₁ в первое уравнение, находим: а₀ = (306,05- 525 х 0,3079)/7 = 20,6289.

Уравнение получает следующие коэффициенты: у^, = 20,6289 + 0,3079х или округленно: у^, = 20,63 + 0,31х.

5. В столбце 5 вычислены значения массы 1000 семян у^, при различной продолжительности вегетации (х). В столбце 6 приводится разница между теоретическими и фактическими значениями массы семян.

Ошибка уравнения прямолинейной или криволинейной регрессии вычисляется по формуле:

или по формуле:

где m_yx -ошибка уравнения регрессии; у- эмпирическое значение функции; у^, - теоретическое значение функции; N- число точек эмпирической линии регрессии; - сигма ряда функции (у); - корреляционное отношение, вместо которого подставляем r_xy при прямолинейной регрессии; n- число коэффициентов уравнения, включая свободный член.

г. Таким образом, массу семян (в г, у) у ячменя можно определить, зная продолжительность их созревания (в днях, х) по формуле у =20,63 +0,31 х, с ошибкой ± 1,6 г. Точки пересечения с осями ординат и абсцисс равны соответственно: у = а₀, х = - (а₀/а₁), здесь у = 20,63; х = - (20,63/ 0,31) = - 66,5.

Коэффициент а₁- основной параметр уравнения прямой линии, степень его достоверности отражает также и наличие или отсутствие корреляционной связи между признаками. Поэтому рекомендуется оценивать достоверность отличия найденного коэффициента а₁ от нуля по формуле , где t – величина критерия Стьюдента, сравниваемая с критической по таблице при числе степеней свободы ; если вычисленная величина меньше табличного значения, то связь между х и у и значение а₁ достоверны, а если вычисленная будет больше табличной величины, то связь данных признаков и значение а₁- недостоверны; а₁ – коэффициент при аргументе в уравнении прямой линии; - среднее квадратическое отклонение ряда аргумента; m_yx - ошибка уравнения по формуле N выборки. Для нашего примера =10,802, остальные величины известны, подставив их в формулу

, получим: По таблице значение критерия при числе степеней свободы: и 99% доверительном уровне меньше вычисленного: 4,032<5. Следовательно, корреляция между х и у действительно существует, и величина коэффициента пропорциональности данной линии регрессии а₁ достоверно отличается от нуля. Достоверность отличия от нуля коэффициента а₀ можно оценить по формуле , где t-величина критерия Стьюдента, сравниваемая с табличной, при числе степеней свободы ; а₀ - величина свободного члена в уравнении прямой линии; N - объем выборки; средняя арифметическая и сигма ряда х.

Полученная величина критерия больше табличной: 4,4 > 4,032 при пяти степенях свободы и 99% доверительном уровне, поэтому считаем достоверной величину коэффициента а₀.

Для вычисления коэффициентов уравнения прямой линии коэффициенты а₀ и а₁ можно найти также применяя формулы:

Рассмотрим пример вычисления коэффициентов уравнения прямой линии для вариационных рядов продолжительности вегетации и массы семян у сортов ячменя по приведенным формулам (Табл.19).

Таблица 19