7. 6. Критерии криволинейности

В биоэкологических исследованиях и опытном деле нередко возникает вопрос к какому типу отнести изучаемую связь: к прямолинейной или криволинейной. Оценка степени криволинейности корреляционной зависимости производится при помощи критериев криволинейности. Приведем наименее трудоемкие и достаточно объективные способы их вычисления:

а) где прямое корреляционное отношение; r – коэффициент корреляции. Связь считается криволинейной, если разность квадратов больше 0,1. Вычисление квадратов коэффициента корреляции и прямого корреляционного отношения ведется по формулам:

где r – коэффициент корреляции; а_х- условные отклонения вариант ряда х от начала ряда; f - частоты корреляционной решетки; а_у - условные отклонения вариант ряда у от начала ряда; n_x - суммы частот по столбцам корреляционной решетки; n_y - суммы частот по строкам корреляционной решетки; N – объем выборки; прямое корреляционное отношение.

Последовательность вычислений:

1. Составляем корреляционную решетку таким образом, чтобы варианты ряда аргумента (х) располагались в верхней строке решетки слева направо, а варианты ряда функции (у) располагались бы в вертикальном столбце снизу вверх (Табл. 16).

Таблица 16

Анализ корреляционной зависимости массы семян (у) от продолжительности вегетации (х) у сортов ячменя

х у	60	65	70	75	80	85	90	ny	ay
58		1	2	3	7	1		14	6
52		5	8	10	11	2	2	38	5
46		7	10	17	33	3	1	71	4

Продолжение табл. 16

40	1	8	9	20	18	1	1	58	3
34	1	4	5	10	5	1		26	2
28		3		3				6	1
22		1						1	0
nx	2	29	34	63	74	8	4	N=214	790
∑fay	5	94	129	219	293	33	17	790	3222
(∑fay)2/nx	12,50	304,69	489,44	761,29	1160,12	136,13	72,25	2936,42
ax	0	1	2	3	4	5	6	646	2260
(∑fay)/nx	2,50	3,24	3,79	3,48	3,96	4,13	4,25
у/х	37,00	41,44	44,74	42,88	45,76	46,78	47,50

2. Суммируем частоты по столбцам (n_x) и по строкам (n_y).

3. Записываем условные отклонения а_х и а_у от начала рядов х и у в виде натурального ряда чисел, начиная с 0, соответственно направлению возрастания вариант в обоих рядах.

4. Получаем по столбцам произведений частот на соответствующие им условные отклонения а_у: первая сумма 5= 1 х 3 + 1 х 2; последняя сумма 17 = 2 х 5 + 1 х 4 + 1 х3. В итоге этой строки ∑fa_y=790.

5. Значения ∑fa_y возводим в квадрат и делим каждое из них на соответствующие им суммы частот (∑fa_y)/n_x , получаем: 12,50; 304,69; 489,44 и т.д., в итоге этой строки:

6. Для получения точек эмпирической линии регрессии отдельные значения ∑fa_y: 5,94; 129 и т.д. надо разделить на соответствующие им n_х: 2,29; 34 и т.д. В результате получим (∑fa_y)/ n_х: 2,50; 3,24; 3,79 и т.д. Каждое из полученных значений умножается на величину классового интервала и к каждому произведению прибавляется минимальная варианта ряда у, равная для нашего примера 22: 2,50 х 6 +22=37,00; 3,24 х6 +22= 41,44; 3,79 х 6 +22 =44,74 и т.д. Полученные значения у/х представляют собой точки эмпирической линии регрессии.

7. Перемножаем все значения n на соответствующие условные отклонения а_х и складываем произведения: 2 х 0 +29 х 1 + 34 х 2 +63 х 3 +…+4 х6 =646 =

8. Получаем сумму перемножая значения n_х на квадраты условных отклонений: 2 х 0²+29 х 1²+34 х 2²+ 63 х 3²…и т.д.

9. Подобно действиям в пунктах 7 и 8, получаем суммы:

790= 1 х 0 + 6 х 1 + 26 х 2 …. и т.д.;

3222 = 1 х 0²+ 6 х 1² + 26 х 2² + 58 х 3² и т.д.

10. Получаем сумму 0 х 5 + 1 х 94 + 2 х 129 + 3 х 219 + 4 х 293 + 5 х 33 + 6 х 17.

11. Подставляем найденные суммы в формулы:

r²=0,0422;

12. Оценку найденных показателей производим по критерию Фишера. Достоверность коэффициента детерминации (квадрата коэффициента корреляции) определяется по формуле

где F – критерий Фишера; r- коэффициент корреляции; N – объем выборки. Числа степеней свободы при оценке коэффициента детерминации принимаются: а отсюда табличные значения критерия Фишера при Р₁=95% равно 3,89. Вычисленные значения критерия больше табличного, поэтому можно сделать вывод о существовании достоверной прямолинейной зависимости массы 1000 семян от продолжительности вегетационного периода у сортов ячменя.

Достоверность квадрата корреляционного отношения определяется по формуле:

где F- критерий Фишера; прямое корреляционное отношение; N- объем выборки; k- число классов в ряду х. Числа степеней свободы при определении достоверности - принимается равными числу классов ряда х без единицы: и объем выборки минус число классов ряда х:

Отсюда при Р₁=95% находим F¹- табличное, равное 2,14. Вычисленное значение больше табличного, поэтому можно сказать о достоверности также и криволинейной зависимости массы плодов от продолжительности вегетации сортов ячменя.

Критерий криволинейности может быть вычислен разными способами. Приведем наиболее простой способ. Оценка степени криволинейности корреляционной зависимости , т.е. критерий криволинейности определяется по формуле: . Связь считается криволинейной, если разность квадратов больше 0,1. Для нашего примера

Таким образом, в нашем случае связь между массой зерен и периодом вегетации можно считать прямолинейной.

Оценка степени криволинейности связи при помощи критерия Стьюдента производится по формуле:

Вычисленное значение меньше трех и меньше табличного при Р=95%, которое равно 1,960, поэтому следует считать, что рассматриваемая связь несущественно отклоняется от прямолинейной.