7. 4. Определение коэффициента корреляции для больших выборок

Коэффициент корреляции для больших выборок рекомендуется вычислять по формуле:

где N- объем выборки; f_xy-совместные частоты рядов х и у; a_х , а_у –отклонения вариант рядов х и у от условных средних: А_х и А_у; f_x- частоты ряда х; f_y - частоты ряда у; - сигма ряда х; сигма ряда у. Отклонения вариант в рядах вычисляются по формулам: а_х = (х - А_х)/с_х; а_у = (у- А_у)/ с_у, где х, у – варианты рядов х и у; А_х и А_у- центральные варианты (условные средние) рядов х и у; с_х и с_у – классовые интервалы в рядах х и у.

Средние квадратические отклонения вычисляются по формулам:

,

В качестве примера, вычислим коэффициент корреляции для проверки наличия связи между массой семян и продолжительностью периода вегетации у сортов ячменя.

Таблица 14

К вычислению коэффициента корреляции между продолжительностью вегетации и массой 1000 семян ячменя

Вегетационный период, дни, х
Масса 1000 семян, г у	57,5-62,4	62,5-67,4	67,5-72,4	72,5-77,4	77,5-82,4	82,5-87,4	87,5-92,5	ау	fy	ayfy	a2yfy
	60	65	70	75=AX	80	85	90
55-61 58		-6 1	-6 2	0 3	21 7	6 1		+3	14	42	126
49-54,9 52		-20 5	-16 8	0 10	22 11	8 2	12 2	+2	38	76	152
43-48,9 46		-14 7	-10 10	0 17	33 33	6 3	3 1	+1	71	71	71
37-42,9 40=Ay	0 1	0 8	0 9	0 20	0 18	0 1	0 1	0	58	0	0
31-36,9 34	3 1	8 4	5 5	0 10	-5 5	-2 1		-1	26	-26	26
25-30,9 28		12 3		0 3				-2	6	-12	24
19-24,9 22		6 1						-3	1	-3	9
ax	-3	-2	-1	0	+1	+2	+3			∑= 148	∑=408

fx	2	29	34	63	74	8	4	N=	214
axfx	-6	-58	-34	0	74	16	12	∑=4
a2xfx	18	116	34	0	74	32	36	∑=310
fxyaxay	3	-14	-27	0	71	18	15	∑= 66

Вычисления производим в следующем порядке:

1. Варианты по обоим признакам разбиваются на классы и производится разноска вариант совместно обоих рядов по клеткам корреляционной решетки. Аргумент (х) располагается в горизонтальном ряду таблицы слева направо. Значения функции (у) возрастают снизу вверх.

2. Вычисляется эмпирическая линия регрессии для выяснения степени криволинейности данной связи. Если эмпирическая линия регрессии близка к прямой линии и не является двускатной, можно вычислять коэффициент корреляции, в противном случае вычисляется показатель корреляции для криволинейных связей.

3. В корреляционной таблице произвольно выбирается условный центр. Обычно это близкая к центру клетка, содержащая наибольшую частоту (в нашем примере- клетка с частотой 20 вариант). В ряду х против нее находится условная средняя А_х =75, а в ряду у –А_у =40.

4. Вычисляем условные отклонения а_х: (60-75)/5 = -3; (65-75)/5= - 2; (70-75)/5 = - 1; (75-75) /5 = 0; (80-75)/5 =+1 и т.д.

Условные отклонения (а_х) записываем в горизонтальной строке.

5. Также вычисляем и условные отклонения а_у от условной средней А_у= 40. Условные отклонения записываем в вертикальной графе табл. 14.

6. Условные отклонения умножаем на соответствующие им частоты: а_хf_x = -3 x 2 = -6; -2 х 29 = - 58; -1 х 34 = -34 и т.д.; а_уf_у = +3 х 14 = 42; +2 х 38 = 76 и т.д.

7. Квадраты условных отклонений умножаем на их частоты: а²_хf_x = (-3)² х 2 = 18; (-2)² х 29 = 116; (-1)² х 34 =34 и т.д.

Аналогично проводим вычисления и для вариационного ряда у: a²_yf_y=3² x 14= 126; 2² x 38 =152 и т.д.

8. Находим произведения условных отклонений между собой и на имеющуюся совместную для них частоту. Вычисления начинаем по столбцам слева направо;

первый столбец: a_xa_yf_xy = (-3) x 0 x 1 =0; (-3) x 1 x (-1) =3;

второй столбец: (-2) х 3 х 1 = -6; (-2) х 2 х 5 = -20; (-2) х 1 х 7 = -14. Записываем результаты в правом верхнем углу соответствующих клеток табл. 14.

9. Суммируем совместные частоты по столбцам и записываем в горизонтальной строке снизу таблицы: 3; -14; -27; 0; 71; 18; 15.

10. Получаем суммы по строкам (ряд х) и по столбцам (ряд у):

∑f_x=N=214; ∑a_xf_x=4; ∑f_y=N=214; ∑a²_xf_x=310; ∑f_xya_xa_y= 66; ∑a_yf_y = 148; ∑a²_yf_y= 408.

11. Для проверки наших вычислений находим сигму ряда х и сигму ряда у по формулам:

,

12. Подставляя вычисленные значения в формулу коэффициента корреляции, получаем:

Для небольших групп вариационного ряда N < 100 ошибку коэффициента корреляции вычисляем по формуле m_z = , а для больших групп N > 100 - по формуле , где m_r- ошибка коэффициента корреляции; r – коэффициент корреляции; N- объем выборки (N > 100).

Для рассматриваемого примера m_r = (1- 0,2055²) / критерий достоверности Стьюдента: Число степеней свободы при определении значимости коэффициента корреляции равно: . По таблице на доверительном уровне 95% он составляет 2,0.

Ввиду того, что вычисленное значение выше табличного, можно сделать заключение о имеющейся положительной небольшой, но достоверной зависимости между массой зерен ячменя и продолжительностью вегетации.

При расчете коэффициента корреляции на ЭВМ как для малых, так и для больших выборок Г.Н.Зайцев рекомендует формулу:

где r – коэффициент корреляции; x – M _x – отклонения значений ряда аргумента от его средней; у - М _у - отклонения значений ряда функции от ее средней величины.