7.3. Вычисление коэффициента корреляции для малых выборок

Коэффициент корреляции вычисляется в случае, когда необходимо выразить силу связи между двумя сопряженными признаками, если эта связь близка к прямолинейной.

Коэффициент корреляции вычисляется обычно по формуле:

где r- коэффициент корреляции; х- варианты ряда аргумента; у- варианты ряда функции; N- объем выборки (число пар вариант, или объем одного из рядов х и у).

Для примера вычислим силу связи, выраженную количественно, между высотой растений и урожайностью у сои (табл. 11).

Вычисления производятся в следующем порядке.

1. Возводим в квадрат х и у (столбцы 3 и 4, табл. 11).

2. Перемножаем значения х на у (столбец 5).

3. Суммируем числа в столбцах 1-5, получаем:

4. Возводим в квадрат суммы столбцов 1 и 2:

Таблица 11

Зависимость урожая сои от высоты растений

Высота растений, х (см)	Урожай, у (ц/га)	х2	у2	Ху
62	19	3844	361	1178
63	20	3969	400	1260
73	12	5329	144	876
82	17	6724	289	1394
66	16	4356	256	1056
44	18	1936	324	792
43	26	1849	676	1118
54	25	2916	625	1350
63	19	3969	361	1197
74	25	5476	625	1850
74	27	5476	729	1998
64	23	4096	529	1472
77	15	5929	225	1155

Суммы столбцов

839

262

55869

5544

16696

5. Перемножаем сумму столбца х на сумму столбца у:

6.По приведенной формуле вычисляем коэффициент корреляции:

Следует отметить, что в зависимости от исходных данных для составления вариационных рядов могут применяться различные способы для вычисления коэффициента корреляции для малых выборок. Так, например, если известны средние арифметические обоих рядов (М_х, М_у), то приведенную ранее формулу можно преобразовать: где обозначения те же. При известных коэффициентах регрессии и средних квадратических отклонениях обоих рядов коэффициент корреляции можно получить по формулам:

, где а₁ - коэффициент регрессии при аргументе х; r_xy - коэффициент корреляции между признаками х и у; - сигмы рядов у и х; s_y, s_x – сигмы тех же рядов в классовых интервалах; c_y, c_x – классовые интервалы рядов у и х. При этом Определим силу связи между высотой растений и массой 1000 семян у сои по данным из первых двух столбцов (табл. 12). Средние арифметические рядов: М_х = 839/13=64,5385;

Таблица 12