Вимоги до оформлення контрольних робіт

1. Семестрові контрольні роботи виконуються чорними або синіми чорнилами чи кульковою ручкою в звичайному шкільному зошиті, на обкладинці якого наводяться відомості студента про себе. Умови задач у контрольній роботі переписуються повністю, без скорочень. Для зауважень та приміток викладача на сторінках зошита потрібно залишаюти поля.

2. У кінці контрольної роботи вказується, яким підручником чи посібником студент користувався при вивченні фізики та розв'язку задач. Це робиться для того, щоб викладач у випадку необхідності міг вказати, що потрібно студенту вивчити (з цих матеріалів) для закінчення контрольної роботи. У контрольній роботі студент повинен розв'язати задачі того варіанту, номер якого збігається із його шифром. Контрольна робота виконана не за своїм варіантом не перевіряється.

3. Якщо контрольна робота при рецензуванні не зарахована, то студент повинен подати її на повторну рецензію, у яку потрібно включити ті задачі, розв'язки яких були невірними. Повторна робота подається разом із незарахованою. Зарахована контрольна робота подається викладачу на іспит або залік. Студент повинен вміти дати пояснення по суті розв'язку задач, які входять у контрольну роботу.

I. Молекулярно-кінетична теорія. Ідеальний газ. Газові закони.

Молекулярна фізика – розділ фізики, вивчаючий будову і властивості речовини, виходячи з молекулярно-кінетичних уявлень про характер рухи і взаємодії між частинками, з яких вони полягають. Вчення про те, що всі речовини складаються з окремих частинок – атомів – виникло в Стародавній Греції ще в IV столітті до н.е. (основоположником атомістичної теорії був філософ Демокріт). Серед інших крупних учених, що займаються вивченням молекулярної будови речовини, особливу роль зіграв М.В.Ломоносов, що припустив, що «теплота полягає у внутрішньому русі матерії». Основні уявлення, виказані Ломоносовим, були надалі розвинені Больцманом, Клаузіусом, Максвелом, Авогадро і ін. Численні дослідження, проведені цими ученими, дозволили сформулювати основні положення молекулярно-кінетичної теорії (МКТ):

1) Всі тіла складаються з найдрібніших частинок – атомів і молекул, в свою чергу складаються з ще дрібніших елементарних частинок (електронів, протонів, нейтронів). Будова будь-якої речовини дискретна (переривисто).

2) Атоми і молекули речовини завжди знаходяться в безперервному хаотичному русі – що не має переважного напряму. Воно називається тепловим, оскільки визначається температурою.

3) Між частинками будь-якої речовини існують сили взаємодії – тяжіння і відштовхування, що має електромагнітну природу.

Ці положення підтверджуються явищами дифузії, броунівського руху, особливостями будови і властивостями газів, рідин, твердих тіл і іншими явищами. Досвідчені дані, що лежать в основі МКТ, служать наочним доказом молекулярного руху і його залежності від температури. На відміну від механічного, тепловий рух тіл може привести до зміни їх фізичних властивостей. Наприклад, охолоджування води приводить до перетворення її в лід, а нагрівання металу до високих температур викликає його перетворення не тільки в рідину, але і в пару. Протікання теплових процесів безпосередньо пов'язане із структурою речовини, тому теплові явища можуть бути використані для пояснення будови речовини, а в свою чергу, будова речовини дає уявлення про фізичну суть теплових явищ.

Для опису теплових явищ у фізиці застосовуються два основні методи: молекулярно-кінетичний (статистичний) і термодинамічний. Молекулярно-кінетичний метод дослідження систем, що складаються з величезної кількості частинок, оперує статистичними закономірностями і середніми значеннями фізичних величин, що характеризують всю сукупність частинок відразу. Процеси, що вивчаються статистичною фізикою, є результатом сукупної дії всіх молекул. Наприклад, температура тіла визначається швидкістю безладного руху його молекул, але оскільки у будь-який момент часу швидкості молекул різні, то вона може бути виражена тільки через середнє значення швидкості руху молекул. Говорити про температуру окремої молекули немає значення. Термодинамічний метод також досліджує системи, що складаються з великої кількості частинок, але не розглядає їх мікроструктуру і мікропроцеси, що скоюються в системі. Грунтуючись на основних досвідчених законах, званих законами термодинаміки, цей метод оперує фізичними величинами, що характеризують систему в цілому (наприклад, тиск, об'єм, температура), і дозволяє зробити висновки про протікання процесів. Обидва підходи, відрізняючись різними методами дослідження, взаємні дополня-ют один одного, утворюючи по суті єдине ціле.

Великі успіхи, досягнуті останнім часом у вивченні будови речовини, розкрили перед нами новий світ – мир найдрібніших частинок. Цей світ одержав назву мікросвіту на відміну від світу крупних тіл – макросвіту. Мікросвіт виявився дуже складним: молекули будь-якого тіла складаються з ще дрібніших – атомів, які, у свою чергу, складаються з електронів і ядер, а ядра включають протони і нейтрони.

Атомом називають якнайменшу частинку даного хімічного елементу, що є носієм його хімічних властивостей.

Молекулою називають якнайменшу стійку частинку речовини, що володіє його основними хімічними властивостями і що складається з атомів, сполучених між собою хімічними зв'язками. Розміри атомів і молекул дуже малі, і побачити їх неозброєним оком не можна. Дані рентгеноструктурного аналізу показують, що лінійний розмір, наприклад, двоатомної молекули кисню або азоту складає порядка 410^-10 м.

Маси окремих атомів і молекул також дуже малі. Наприклад, маса молекули води складає порядка 310^-26 кг. Але в молекулярній фізиці маси атомів і молекул прийнято характеризувати не абсолютними значеннями (у кілограмах), а безрозмірною величиною, званою відносною атомною А (або молекулярної М) масою. За міжнародною угодою одиничної атомної маси прийнята як 1/12 маси ізотопу вуглецю ¹²С: m_c/12=1,6610^-27 кг.

Відносну молекулярну масу М можна визначити, якщо середню масу молекули розділити на одиничну атомну масу:

Аналогічно визначається і відносна атомна маса:

Оскільки маси окремих молекул відрізняються один від одного, те однакове число молекул різних речовин мають різну масу. Тому прийнято порівнювати число молекул або атомів в даному ве-ществе з числом атомів, що містяться в 12 грамах ізотопу вуглецю ¹²С. Відносне число атомів, що містяться в макроскопічному тілі, характеризується фізичною величиною, визначуваною чи-злам специфічних структурних елементів (молекул, атомів або іонів), з яких складається речовина, і званої кількістю речовини . Кількість речовини – фізична величина, рівна відношенню числа N молекул (або атомів) в даному макроскопічному тілі до числа N_A атомів в 12 грамах атомів вуглецю:

Одиниця вимірювання кількості речовини – моль. Моль – кількість речовини системи, що містить стільки ж структурних елементів, скільки атомів міститься в 12 грамах нукліда ¹²С вуглецю. Моль будь-якої речовини містить, за визначенням, однакову кількість атомів (молекул), зване числом (постійною) Авогадро:

У молекулярній фізиці користуються також поняттям молярної маси М, яка визначається як маса 1 моль речовини:

Одиниця молярної маси – кілограм на моль (кг/моль). Виходячи з цього, маса будь-якої кількості речовини рівна m=M.

У молекулярній фізиці розглядаються макроскопічні системи – системи, що складаються з великого числа частинок. Для кожної з них неможливо вказати її координату і напрям руху, визначати температуру і тиск. Ізмеріми тільки параметри стану всієї сукупності молекул, тобто макроскопічні характеристики. Спочатку з'ясуємо закономірності, яким підкоряються речовини в газоподібному стані. При цьому розглядатимемо модель реальних газів, що ідеалізується, – ідеальний газ.

Ідеальним називають такий газ, для якого можна нехтувати розмірами молекул і силами міжмолекулярної взаємодії, а зіткнення молекул між собою і із стінками судини вважати абсолютно пружними. Цій моделі цілком задовольняють реальні гази в умовах, близьких до нормальних, а також при низькому тиску і високих температурах. Стан деякої маси газу характеризують залежними один від одного фізичними величинами, що визначають властивості системи і званими параметрами стану. До них відносяться об'єм V, тиск р і температура Т.

Об'єм газу – частина простору, займана газом. Одиниця об'єму – кубічний метр (м³). Об'єм газу завжди співпадає з об'ємом судини, в якому знаходиться цей газ.

Тиск – фізична величина, чисельно рівна силі, діючій на одиницю площі поверхні перпендикулярно до неї:

Одиниця вимірювання тиску – Паскаль (1 Н/м²=1 Па). Кожна молекула газу, ударяючись об стінку судини, в якому знаходиться, протягом короткого проміжку часу діє на неї з якоюсь силою. В результаті безладних ударів об стінку, середня сила з боку всіх молекул на одиницю площі поверхні стінки і є тиском газу, який вимірюється манометром.

Поняття температури – одне з основних понять не тільки в молекулярній фізиці, але і фізиці в цілому. Для встановлення її кількісного визначення, потрібно ввести поняття теплової рівноваги.

Розглянемо систему з декількох тіл: нагрітий метал (тіло А), воду при кімнатній температурі (тіло Б) і шматок льоду (тіло В). Якщо ці тіла привести в зіткнення, між ними виникне процес теплообміну, при якому зміну енергії кожного тіла системи можна відбити умовним записом: АБВ. Енергія при теплообміні завжди передається від тіла з більш високою температурою до тіла з більш низькою. Зрештою, у системі цих тіл наступить стан, при якому теплообмін між тілами припиниться. Цей стан і називається тепловою рівновагою. Тіла, що знаходяться в тепловій рівновазі, мають однакову температуру. Температура – фізична величина, що характеризує стан термодинамічної рівноваги макроскопічної системи і визначальний напрямок теплообміну між тілами.

Отже, якщо система тіл знаходиться в стані теплової рівноваги, то її температура й інші параметри стану (тиск і об’єм) не змінюються згодом. При зміні температури змінюються розміри тіл, їхні об’єми, електричні опори й інші властивості. У більшості усіх фізичних і хімічних процесів виявляється залежність від температури. Тому температуру можна визначати по зміні якого-небудь зручного для виміру фізичної властивості даної речовини. Для однозначного визначення температури необхідно вибрати термометричне тіло і температурний параметр, який повинен змінюватися беззупинно і монотонно з температурою (тобто він не повинний мати однакові значення при різних температурах).

В даний час застосовують тільки дві температурні шкали: Міжнародна практична, градуйована в градусах Цельсія (⁰С), і термодинамічна, градуйована в Кельвінах (К). Шкала Цельсія визначається двома реперними точками: 0⁰С и 100⁰С – температури замерзання і кипіння води при нормальних умовах відповідно. Шкала Кельвіна (У.Томсона) визначається одною реперною точкою – температурою замерзання води при нормальних умовах, що за цією шкалою дорівнює 273,15 К. Температура Т=0 К називається нулем Кельвіна (абсолютним нулем). Термодинамічна температура Т и температура t по Міжнародній практичній шкалі зв'язані співвідношенням: T=273,15⁰C+t.

Між термодинамічними параметрами ідеального газу в будь-якому стані існує однозначне співвідношення, що у загальному виді називається рівнянням стану. Для простих систем таке рівняння може бути записане у виді: f(p,V,T)=0. За допомогою рівняння стану завжди по двох параметрах системи можна визначити третій. Будь-яка зміна в термодинамічній системі, зв'язана зі зміною хоча б одного з трьох її макроскопічних параметрів, називається термодинамічним процесом. Однак не існує жодного процесу, при якому змінювався б тільки один параметр: зміна одного з них веде до зміни й інших. Процеси, при яких один з параметрів газу залишається постійним, а два інших змінюються, називаються ізопроцесами. Розглянемо ізопроцеси, яким підкоряються ідеальні гази.

1)Процес, що протікає в газі при постійній температурі, називають ізотермічним («ізос» - рівний, «термос» - теплий). У XVII столітті французський фізик Е.Мариіотт і англійський фізик Р.Бойль одночасно установили залежність тиску газу від його об’єму при постійній температурі, названу законом Бойля-Маріотта: тиск даної маси ідеального газу (m=const) при постійній температурі (T=const) змінюється зворотньо його об’ємові:

Закон можна сформулювати інакше: для даної маси газу при постійній температурі добуток тиску газу на його об’єм є величина постійна:

Криві, що зображують залежності між величинами р і V, які характеризують властивості речовини при постійної температурі, називаються ізотермами. Вони являють собою гіперболи, розташовані на графіку в координатах р-V тим вище, чим вище температура, при якій відбувається процес.

2) Процес, що протікає в газі при постійному тиску, називають ізобарним («барос» - важкий). Залежність об’єму газу від його температури при постійному тиску встановлена в 1802 році французським ученим Л.Гей-Люссаком. Проведені ним досвіди показали, що збільшення об’єму газу пропорційно збільшенню температури (закон Гей-Люссака). У шкалі Цельсія закон формулюється так: об’єм даної маси ідеального газу (m=const) при постійному тиску (р=const) змінюється прямо пропорційно його температурі:

де V - об’єм газу при температурі t⁰C, V₀ - його об’єм при 0⁰С,  - температурний коефіцієнт об'ємного розширення (для всіх газів =1/273 ⁰С^-1). Графічна залежність об’єму ідеального газу від температури називається ізобарою і має вигляд прямої лінії, що перетинає горизонтальну вісь (температур) у точці –273⁰С, яка визначена з умови (1+t)=0. Чим більше тиск газу, тим нижче лежить ізобара в координатах V-t. Якщо перенести початок відліку температур у точку абсолютного нуля (–273⁰С), то відбувається перехід до шкали Кельвіна, і закон Гей-Люссака набуває вигляду:

і одержує формулювання: для ізобарного процесу відношення об’єму ідеального газу до його абсолютної температури є величина постійна.

3) Процес, що протікає в газі при постійному об’ємі, називається ізохорним («хорема» - місткість). Дослідження залежності тиску газу від температури при незмінному об’ємі вперше були проведені французським фізиком Ж. Шарлем у 1787 році. Їм було встановлено, що тиск даної маси ідеального газу (m=const) при постійному об’ємі (V=const) змінюється прямо пропорційно його температурі:

де p – тиск газу при температурі t⁰C, p₀ - його тиск при 0⁰С,  - температурний коефіцієнт тиску (у всіх газів =1/273⁰С^-1). Графічна залежність тиску ідеального газу від температури називається ізохорою і має вигляд прямої лінії, яка перетинає горизонтальну вісь (температур) у точці –273⁰С, що визначена з умови (1+t)=0. Чим більше об’єм газу, тим нижче лежить ізохора в координатах р-t. Якщо перенести початок відліку температур у точку абсолютного нуля (–273⁰С), то відбувається перехід до шкали Кельвіна, і закон Шарля набуває вигляду:

і одержує формулювання: для ізохорного процесу відношення тиску ідеального газу до його абсолютної температури є величина постійна.

Згадаємо ще два газових закони, установлених на підставі досліднихних даних. Закон Авогадро: молі будь-яких газів при однакових температурі і тиску займають однакові об’єми. При нормальних умовах (р₀=1,01310⁵ Па, Т₀=273,15 К) цей об’єм дорівнює V_m=22,410^-3 м³/моль.

Закон Дальтона: тиск суміші ідеальних газів дорівнює сумі парціальних тисків, що входять до її компонентів:

(Парціальним називається тиск, який створював би газ, що входить до складу газової суміші, якби він один займав об’єм суміші при тій же температурі).

Розглядаючи ізопроцеси, ми припускали, що один із трьох параметрів стану газу залишався постійним. На практиці ж частіше приходиться зіштовхуватися з випадками, коли одночасно змінюються всі три параметри стану. Французський фізик Б.Клапейрон, об'єднавши закони Бойля-Маріотта, Гей-Люссака і Шарля, вивів рівняння стану ідеального газу:

або добуток тиску газу на його об’єм, віднесений до температури газу, є величина постійна. Цей вираз є рівнянням Клапейрона, у якому постійна В залежить від маси і молярної маси газу, а також від вибору одиниць тиску, об’єму і температури.

Російський учений Д.І.Менделєєв об'єднав рівняння Клапейрона з законом Авогадро для одного моля. Відповідно до закону Авогадро, при однакових р і Т молі всіх газів займають однаковий молярний об’єм V_m, тому постійна буде однаковою для всіх газів. Ця загальна для всіх газів постійна позначається R і називається молярною (універсальною) газовою постійною. Рівняння стану ідеального газу для одного моля має вигляд:

і називається рівнянням Клапейрона-Менделєєва. Числове значення R визначають з цього рівняння, думаючи, що 1 моль газу знаходиться при нормальних умовах: р₀=1,01310⁵ Па, Т₀=273,15 К, V_m= =22,410^-3 м³/моль: R=8,31 Дж/мольК. Довільна маса газу m займає об’єм V=V_m, де  - кількість молів речовини, а рівняння приймає вид:

де М – молярна маса газу.

Існує ще одна зручна форма запису рівняння стану ідеального газу. Якщо загальну масу газу m представити як m₀N, (m₀ – маса однієї молекули, N – їхня загальна кількість), то молярна маса газу М=m₀N_А (N_А – число Авогадро). Підставивши в рівняння вираз для m і М, і ввівши позначення R/N_A=k=1,3810^-23 Дж/К, одержимо:

Величина k відноситься до класу універсальних постійних, являє собою газову постійну, віднесену до однієї молекули і називається постійною Больцмана. Розділивши обидві частини рівняння на об’єм газу і ввівши позначення N/V=n, назване концентрацією молекул (кількість молекул в одиниці об'єму), одержуємо ще один запис рівняння Клапейрона–Менделєєва:

т.б. тиск газу пропорційний добуткові концентрації молекул газу на його термодинамічну температуру. Наявність міжмолекулярних сил взаємодії і кінцеві розміри молекул є основними відмінностями реальних газів від ідеальних. Ці відмінності беззупинно зростають зі збільшенням тиску. Сили міжмолекулярної взаємодії мають електромагнітну і квантову природу. Вони виявляються на відстанях порядку 10^-9 - 10^-10 м і називаються ван-дер-ваальсовими. Облік кінцевих розмірів молекул і сил притягання між ними дозволяє одержати рівняння стану реальних газів з рівняння Клапейрона-Менделєєва шляхом внесення поправки а/V² до тиску і поправки b до об’єму:

і називається рівнянням Ван-дер-Ваальса для одного моля газу. Поправка b до об’єму враховує, що фактичний вільний об’єм, у якому можуть рухатися молекули реального газу зменшуються на об’єм самих молекул і об’єм зазорів між молекулами при їхньому щільному упакуванні (вона враховує сили відштовхування між молекулами і дорівнює збільшеному в чотири рази власному їх об’єму). Поправка ж до тиску враховує дію сил притягання між молекулами реального газу, що приводить до появи додаткового внутрішнього тиску, який зворотньо пропорційний квадратові об’єму газу. Константи а і b залежать від природи газу і визначаються дослідним шляхом. Для довільної маси реального газу рівняння Ван-дер-Ваальса має вигляд:

Тиск газу виникає в результаті численних ударів його молекул об стінки судини. При зіткненнях молекули передають стінкам свій імпульс, а значить діють на них із силою, тобто натискають. Зробивши кілька припущень, нескладно одержати рівняння, що зв'язує макроскопічну величину – тиск газу, з мікроскопічними характеристиками його молекул. Це рівняння називається основним рівнянням молекулярно-кінетичної теорії (МКТ) газів (рівняння Клаузіуса) і має вигляд:

де n – концентрація молекул газу, m₀ – маса молекули, <V_кв> - середня квадратична швидкість молекул, обумовлена співвідношенням:

Домноживши і розділивши основне рівняння МКТ на 2, перепишемо його в іншому виді:

де Е_ср – середня кінетична енергія поступального руху молекул. Порівнявши це співвідношення з формулою p=nkT, одержимо вираз для середньої кінетичної енергії молекул:

Звідси випливає, що при Т=0 (абсолютному нулі) припиняється поступальний рух молекул газу, а значить і його тиск дорівнює нулеві. Ця формула також розкриває молекулярно-кінетичне тлумачення температури: температура газу є мірою середньої кінетичної енергії поступального руху молекул. Представивши це співвідношення у виді:

одержимо вираз для обчислення середньої квадратичної швидкості:

Таким чином, знаючи температуру газу, можна визначати середню квадратичну швидкість руху молекул.

Хоча молекули рухаються хаотично і при зіткненнях змінюють свої швидкості, середня квадратична швидкість руху при постійній температурі залишається постійноїю Це означає, що в газі, що знаходиться в стані теплової рівноваги, встановлюється деяке стаціонарне – не змінюється з часом – розподіл молекул по швидкостях, що підкоряється цілком визначеному статистичному закону. Уперше цей закон виведений Максвеллом, який одержав вираз для функції розподілу молекул f(V). Ця функція характеризує імовірність того, що швидкості молекул лежать у даному одиничному інтервалі швидкостей d і має вигляд:

Множник А визначається з умови нормування для функції f(V):

Підставивши сюди вираз для f(V) і проінтегрувавши, одержимо:

У показнику експонентної функції маємо узяте з мінусом відношення кінетичної енергії молекули до середньої її енергії (k). Графік функції f(V), починаючись з нуля, досягає максимуму, а потім асимптотично прагне до нуля; вона несиметрична відносно V. Швидкість, при якій функція розподілу досягає максимуму, називається найбільш ймовірною швидкістю. Продиференціювавши функцію f(V) за аргументом V і прирівнявши результат до нуля, одержимо вираз для найбільш ймовірної швидкості:

Цьому значенню відповідає максимальна імовірність того, що швидкості молекул лежать в одиничному інтервалі поблизу його. Очевидно, що при підвищенні температури, значення найбільш ймовірної швидкості стає більше, і максимум функції розподілу зміщується вправо. Це означає, що молекул, які швидше рухаються стає більше, і це відповідає фізичному змістові температури. Перейшовши від змінної V до змінного m₀V²/2, легко одержати вираз для функції розподілу молекул ідеального газу по енергіях їх теплового руху, що набуде вигляду:

Закон Максвелла про розподіл молекул за швидкостями і енергіями вперше одержав експериментальне підтвердження в дослідах Штерна (1920 р.), а більш точно – у досліді Ламмерта (1929 р.).

При розгляді закону розподілу Максвелла передбачалося, що молекули рівномірно розподіляються по всьому об’єму судини, що справедливо для малих об’ємів. Для великих же об’ємів рівномірність розподілу молекул за об’ємом порушується через дію сили ваги, унаслідок чого щільність, а отже, і концентрація молекул будуть неоднаковими. Якщо розглянути молекули повітря в полі тяжіння Землі, то тиск атмосфери залежить від висоти над поверхнею Землі. Припустивши, що прискорення вільного падіння g і температура повітря Т не залежать від висоти підйому, неважко вивести залежність тиску повітря в атмосфері від висоти підйому над поверхнею Землі. Ця залежність зветься барометричною формулою і має вигляд:

де р₀ – тиск на поверхні Землі (звичайно на рівні моря). Використовуючи співвідношення p=nkT, формулу можна переписати:

З формули випливає, що зі зниженням температури кількість частинок на висоті, відмінній від нуля, зменшується і при Т=0 обертається в нуль. Це означає, що при абсолютному нулі всі молекули атмосфери розташувалися б на земній поверхні. Оскільки потенціальна енергія молекули на висоті h дорівнює m₀gh, то формулу можна переписати у виді:

Це співвідношення називається розподілом Больцмана. Воно показує, що при постійній температурі концентрація (щільність) газу більша там, де менша потенційна енергія його молекул. Цей закон є універсальним: якщо частки мають однакову масу і знаходяться в стані хаотичного теплового руху, то воно справедливо не тільки в полі сил тяжіння, але й у будь-якому зовнішньому потенційному полі. Цей розподіл подає умова рівноваги між тепловим рухом, який прагне до максимального розсіювання часток, і дією зовнішніх потенційних сил, що прагнуть до максимального розшарування часток за значеннями їхніх потенційних енергій. Експериментальне підтвердження справедливості цього розподілу було отримано при визначенні постійної Авогадро Ж.Перреном.