20. Матрица квадратичных форм.

Определение. Матрицей квадратичной формы ϕ(x) называется матрица полярной для неё билинейной формы в том же базисе F(x, y). А поскольку матрица билинейной формы симметрична, то матрица квадратичной формы тоже симметрична.

-Базис

Поскольку матрица квадратичной формы это полярная для матрицы билинейной формы, то при изменении базиса она тоже, как и матрица билинейной формы, меняется.

S-матрица к новому базису, то

30. Ограничение билинейной (квадратичной формы) на подпространстве

Определение. Пусть F –билинейная форма на V. L –подпространство пространства V. Определим на L выражение . Легко видеть, что оно является билинейной функцией на L. Она называется ограничением функции F на подпространство L. -симметричная или кососимметричная, если F симметричная или кососимметричная. Квадратичная форма порождённая на подпространстве L порождает .

Пусть – матрица А в базисе , L=L( ), k<n. Найдем какова будет матрица ограничена на - определенна на L.

Такова же связь между матрицей ограниченной квадратичной формы и матрицы исходной квадратичной формы.

Гл 1 Пр4 Ортогональные векторы относительно билинейной формы

10.Определние ортогональности относительно билинейной формы и свойства.

Определение. F-симметричная билинейная форма на V, будем говорить, что a-ортогонален вектору b если

Поскольку F-симметрична, то . Вектор ортогональный самому себе называется изотропным.

a-изотропный ⇔ где ϕ-квадратичная форма, порождённая F.

Свойства:

1.Если вектор V изотропный, то F=0(нулевая)

Справедливость данного утверждения вытекает из

F(x, y)= (ϕ(x+y)-ϕ(x)-ϕ(y)).

2. Если , то линейной комбинации этих векторов

3. Система попарно ортогональных не изотропных векторов линейно-независима.

Рассмотрим

20.Ортогональное дополнение и его свойства

Определение. M- непустое множество векторов V. Ортогональным дополнением множества M называется множество всех векторов пространства V, ортогональных каждому вектору множества M.

Свойства:

1. -является подпространством пространства M

, так как ,

2. –система попарно –ортогональных не изотропных векторов:

– линейно независима. Дополним до базиса всего пространства базис

Учитывая линейность F ⟹

-очевидно

Минор порядка k- имеет вид

3. тогда

Поэтому достаточно показать, что . Пусть вектор

Замечание. Свойство 3 означает, что любая система попарно-ортогональных не изотропных векторов может быть дополнена до базиса пространства V векторами

Гл1 Пр5 Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Канонический вид квадратичной (билинейной симметрической) формы и канонический базис.

Определение. Пусть F- билинейная симметрическая форма на V базис пространства V ,векторы которого попарно ортогональны относительно F называется ортогональным относительно формы F. Этот же базис называется каноническим для квадратной формы φ(х)=F(x,x).

Предложение. базис пространства V является ортогональным когда матрица формы в этом базисе диагональная.

A=(α_ij )- диагональная f_ij=0, F(e_i,e_j)=0 e_i e_j В ортогональном базисе и только в нем квадр.форма F(x,y)= α₁x₁y₁+…+ α_nx_ny_n (1)

Такой вид называется каноническим.

В таком базисе и только в нем квадратичная форма Ф(x,y)= α₁x₁²+…+ α_nx_n² (2)

Такой вид так же называется каноническим. Процесс преобразования к виду 1 и 2 называется приведение формы канонического вида.

Поскольку rank формы не меняется при изменении базиса, то число отличных от 0 коэффициентов в каноническом виде не зависит от выбора канонического базиса и равно рангу формы.

Теорема о существовании ортогонального (канонического) базиса.

Теорема. Относительно всякой билинейной квадратичной формы пространства V над P ортогональный базис. (Всякую билинейную симметричную (квадратичную) форму можно привести к каноническому виду).

dimV=n

I: n=1, в таком случае базис ортогональный.

II: предположим, что теорема верна для билинейной формы на пространствах размерности dim<n.

Докажем, что она верна и для данной формы на пространстве V.

Если F=0, то ортогонально. Будем считать, что F 0 → u₁ V . В L(u₁) найдется вектор u₂,u₃…u_n дополним вектор u₁ до базиса пространства V.

- сужение F на L(u₂,u₃…u_n ). Так как dim L(u₂,u₃…u_n )=k-1<n , то по индукции предположим в L(u₂,u₃…u_n ) v₂..v_n относительно на L(u₂…u_n ). F= то векторы v₂..v_n попарно ортогональны и относительно F. u₁, v₂..v_n ортогональный базис пространства V относительно F.

Следствие. Пусть А- симметричная матрица над P, тогда невырожненная S над Р такая, что S^TAS-диагональная матрица.

Следствие 2. Любую систему попарно ортогональных неизотр. векторов не являющуюся базисом можно дополнить до ортогонального базиса в пространстве.

Систему u₁..u_k можно дополнить до базиса векторами u_k+1..u_n L(u₁…u_k ) . - ограничение формы F на L(u_k+1…u_n ). В L(u_k+1…u_n ) существует ортогональный базис v_k+1…v_n относительно . Но, так как =F, то векторы v_k+1…v_n – попарно ортогональны и относительно F и тогда система векторов u₁…u_k, v_k+1…v_n-ортогональный базис V.

Гл1 Пр6 Нормальный вид комплексной и действительной квадратичных форм.

Нормальный вид комплексных квадратичных форм.

Определение. Канонический вид билинейной симметрической формы, в котором отличный от 0 коэффициент =1, называется нормальным видом данной формы. Всякую билинейную симметрическую форму можно привести к нормальному виду .

φ(х)= λ₁х₁²+…+ λ_nх_n²

φ(х)= ₁y₁²+…+ _ny_n² , где _i=0 или 1, это означает, что комплексной симетрической матрицы А невырожденная матрица S такая, что S^TAS- диагон. матр. с 1 и 0 на диагонали.

Нормальный вид действительной квадратичной формы.

Определение. Канонический вид действительной квадратичной формы, в котором отличный от 0 коэффициент =+-1, называется нормальным видом данной формы. Всякую действительную квадратичную форму можно привести к нормальному виду

φ(х)= λ₁х₁²+…+ λ_nх_n² достаточно сделать преобразование

φ(х)= ₁y₁²+…+ _ny_n² , где ₁=0 или

Закон инерции.

Теорема. Чисто положительных и число отрицательных коэффициентов в нормальном виде действительной формы не зависит от выбора базиса.

Пусть в базисе e_1…е_n квадратичная форма φ(х)= х₁²+…+ х_к²- х_к+1²-…- х_r² , r – ранг φ(х). Предположим, что в u_1…u_n φ(х)= у₁²+…+ у_s²- у_s+1²-…- у_r², предположим, что к=s (к>s) .

W₁=L(e_1…е_n ), W₂=L(y_s+1…y_n );

dim W₁+ dim W₂=k+(n-s)>n- dim V → в W₁ W₂ имеется 0 элементы. Пусть а W₁ W_2,

а 0, рассмотрим φ(х) т.к. а W.

a= α₁e₁+..+ α_ke_k

φ(a)= α₁²+..+ α_k²>0, т.к. в α₁=0

иначе а=0, т.к. а W₂, то а=β_s+1U_s+1+..+ β_nU_n (не все β_i=0), тогда φ(a)= -β_s+1 ² -..- βr² ?!

Определение. Число положительных коэффициентов в нормальном виде действительной квадратичной формы наз. положительным индексом, а число отрицательных коэф. называется отрицательным индексом матрицы. Разность между положительными и отрицательными индексами матрицы называется сигнатурой.

Следствие. Пусть А -действительная симметр. матрица , тогда существует невырожденная действительная матрица S такая, что S^TAS

Является диагональной матрицей с +-1 и 0 на диагонали, причем количество 1 и -1 не зависит от выбора матрицы S.

Гл1 Пр7 Знакоопределённая Квадратичная форма Определение и 1-ый критерий знакоопределенности. Определение. Действительная квадратичная форма φ на V назыв. Положительно определённой, если φ(х) > 0 ∀ х ∈ V , х ≠ 0, и называется отрицательно определённой, если φ(х) < 0 ∀ х ∈ V , х ≠ 0 Положительно опр. Или отрицательно опр. Называется знакоопределенной. I критерий: Действительная квадратичная форма на n-мерном пространстве положительно (отрицательно) определена тогда, когда её + (-) индекс инерции = n. Для положительно опр. Квадратичной формы (для отрицательно определенной – аналогично). Необх. φ(х) положительно опр. Квадратичная форма. u₁…u_{n –} канонический базис, в котором она имеет вид: u(x) = ∑_i=1 ε_ix_i² (ε₁=+-1,0) ε_i=F(u_i,u_i)= φ(u_i) > 0 => ε_i=1 ∀i=1,n => φ(х) =∑_i=1 x_i² , т.е. положительный индекс инерции = n. Достаточ. Пусть положительный индекс = n, где n=dimV φ(х) =∑_i=1 x_i² > 0 ∀ х ≠ 0 Лемма об опред. Матрицы действительной квадратичной формы. Лемма I: При переходе к новому базису, определитель матрицы квадратичной формы умножается на квадратично определенную матрицу перехода. (В частности знакоопределенность не меняется.) Если А матрица квадратичной формы в некотором базисе, S – матрица перехода, то как ранее показано, матрица квадратичной формы в новом базисе – S^TAS |S^TAS|=|S^T|*|A|*|S|=|A|*|S²| Лемма II: Если квадратичная форма положительно определена, то определитель её матрицы положительный. Пусть квадратичная форма φ положительно или отрицательно определена. A – её матрица в некотором базисе. S – матрица перехода к каноническому базису, в котором φ имеет нормальный вид: φ(х)= ∑_i=1 x_i² E – матр.кв. S^TAS=E |A|*|S²|=1 => |A|>0 Критерий Сильвестра положительно определенной квадратичной формы.

Теорема 2: Квадратичная форма положительно определена  угловые миноры её матрицы положительны. Необх. φ(х) положительно опр. A=(α_ij) в базисе e₁,…,e_n , опр. = k-ый угловой минор. Достаточ. Пусть φ – квадратичная форма на n-мерном пространстве V, с матрицей A=(α_ij), b=(e₁,…,e_n ), все угловые миноры > 0, покажем что φ положительно опр. квадратичная форма. Индукция по n, n=1, A=(a₁₁), a₁₁>0 => φ(х) = a₁₁x_1­­­² > 0 ∀ х ≠ 0 Индукционный переход: Предположим, что теорема верна для всех пространств dim<n, докажем, что она верна для V dim n.

e₁,…,e_n А, угловой минор > 0 => по индукций предположим

Относительно (а значит и φ) векторы канонического базиса u₁…u_n попарно ортогональны F(u_i,u_j)= δ_{i j}=

Согласно ранее полученном результату, к этим векторам можно добавить u_n, что получится ортогональный базис относительно F – поляр. φ билинейная симметричная форма, он же является канон. для порожд. в этом базисе φ(х) примет вид

Учитывая, что |A|>0 и Лемму 1 знак опр. при изменении не меняется λ>0 =>квадратичная форма положительно определена, так как сумма квадратов с положительным коэффициентом. Критерий Сильвестра отрицательно определенной квадратичной формы. Теорема: Действительная квадратичная форма является отрицательно определенной  все угловые миноры её матрицы нечетного порядка отрицательны, а миноры четного порядка положительны. φ(х) – положительно определенная квадратичная форма > 0  - φ(х) отрицательно определенная < 0 , если А – матрица положительно опр. φ, то –А матрица отрицательно опр. φ. Если М- (угловой) минор прядка k, то угловой опр. |-M|= =(-1)^k |M| => если Δ₁, Δ₂,…, Δ_n- угл. миноры A, то угл. миноры матрицы –А = -Δ₁, -Δ₂,…,(-1)ⁿΔ_n

Гл 1 Пр8 Эквивалентные квадратичные формы.

Определение и общий критерий.

Определение. φ, ψ на множестве V над полем P.

ψ наз. эквивалентной формой φ, если существует автоморфизм g пространства V такой, что ψ(x)= φ(g(x)) V. В этом случаи пишут ψ ~φ.

Данное отношение действительно является отношением эквивалентности.

• Рефлексивно, т.е. ψ ~ ψ

• Симметрично, т.е. ψ ~φ ⇒ φ~ ψ

• Транзитивно, т.е. ψ ~φ и φ~r ⇒ψ ~r.

Тем самым множество квадратичных форм на данном пространстве разбивается на классы эквивалентных форм.

-базис А-матрица в базисе S-матрица автоморфизма g

Ψ имеет матрицу В

Равенство , что две квадратичные формы эквиваленты ⇔ когда их матрицы свызаны равенством , где S некоторая невырожденная матрица.

Если S считать матрицей перехода к новому базису, то матрица квадратичной формы меняется по такой же формуле.

Теорема(общий критерий эквивалентности квадратичных форм).

Две квадратичные формы на линейном пространстве эквив ⇔ существуют базисы этого пространства, матрицы которых квадратичных форм совпадают.

Следствие. Две квадратичные формы экв. ⇔когда их можно привести к одному каноническому виду.

необход. Если формы эквиваленты, то найдутся базисы, в которых матрицы совпадают.

Дост. очевадна.

Критерий эквивалентных комплексных и действительных квадратичных форм.

Теорема. Комплексные (действительные) кв. формы эквивал. ⇔ когда их можно привести к одному и тому же нормальному виду.

Теорема. Комплексные кв. формы эквив. ⇔ когда их ранги совпадают.

Теорема. Действительные кв. формы эквив. ⇔ когда их ранги и сигнатуры совпадают.

Замечание. Кол-во классов эквив. комплексной и действ. кв. форм на n-мерном пр-ве конечно.

На - бесконечно ( при простых p не эквивалентны).

Гл 1 Пр 9 Полуторалинейные и эрмитовы квадратичные формы

Определение полуторалинейной формы и пример

Определение. V-лин.над ℂ

F:V*V−>ℂ наз. Полуторалинейной формой, если:

1)F(x+y,z)=F(x,z)+F(y,z)

2)F(αx,z)= F(x,z)

3)F(x,y+z)=F(x,y)+F(x,z)

4)F(x,α)=αF(x,z) x,y,z V

α ℂ

Определение. F наз. Эрмитовой если F(y,x)=

Пример. V-пространство. е₁..е_n базис ℂ ( )

(*), где

Данный пример является самым общим, потому что любую полуторалинейную форму можно представить в виде (*).

F-полуторалинейная форма на V с базисом е₁..е_n

Пусть ( )

Тогда имеем:

=

Определение. Матрицей полут. формы F наз. Матрица

Эрмитовы формы и эрмитовы матрицы

Определение. Матр. А наз. эрмитовой, если А=А^*, (т.е. = )

Предложение. Если А эрмитова матрица, то её определитель ℝ. detA ℝ

А=А^*=> detA=detA^*=det =det( ) = =detA=>detA ℝ

Следствие Все угловые миноры эрмитовой матрицы явл. действительными.

Предложение Полуторалинейная форма F эрмитова  когда её матр А в некотором базисе эрмитова.

Необходимость: = = =

Достаточность: Пусть А эрмитова матрица полуторалинейной фрмы F в базисе е₁...е_n , тогда: x= y= F(y,x)=

Матрица полуторалинейной формы.

Определение. Пусть: А-матрица полут. формы F в базисе е₁..е_n

B- матрица полут. формы F в базисе u₁..u_n

S- матрица перехода

B=S*AS (+)

Из равенства (+) => что ранг матрицы неменяется при переходе к другому базису, поэтому явл. корректным определения:

1. Рангом полуторалин. формы наз. ранг e[i] матрицы

2. Если ранг совподает с размерностью, то форма невырождена

3. Полуторалин. форма не вырождена  когда ее матрица в каком либо базисе невырождена.

4.При переходе к новому базису определитель матр. Умножен на квадрат модуля определителя матр. Перехода

=

! Знак определителя эрмитовой формы не меняется при переходе к новому базису!

Комплексные и эрмитовы квадратичные формы

F- полуторалинейная кв-ая форма на комплексном пространстве V

φ:V−>ℂ, φ(x)=F(x,x) x V наз. квадратичной формой на V порожденной полуторалинейной формой F.

В отличии ото билин. форм, различные полуторалин. формы, порождают различные квадр. формы: F(x,y)= (φ(x+y)+iφ(ix+y)-(1+i)(φ(x)+φ(y)))

Матрицей кв. формы в некотором базисе наз. матрица порожд.её полуторалинформы в этом же базисе => при изменении базиса, матрицы изменяются по той же формуле что и матр. полуторалин. формы: B=S*AS.

В частности ранг матрицы кв-ой формы не зависит от выбора базиса и наз. рангом кв-ой формы.

Кв-ая форма ранг которой равен размерности простр. наз. невырожденной;

Кв-ая форма порожденная эрмитовой полуторалин. формой так же наз. эрмитовой

Св-ва эрмитовой формы:

Принимает только действительные значения:

φ(x)= F(x,x)= = => φ(x) R

Для эрмитовых кв-ых так же как и для обычных кв-ых ф-м ,в частности действ., определяют понятия : канонич. базиса, вида, знака определенности и эквивалентности. Остаются верными и все понятия и утверждения.

Гл1 Пр10 Формы и группы

Билинейные (полуторолинейные)формы и группы.

Определение. F – невырожденная билинейная форма на конечномерном пр-ве V над полем P. G – автоморфизм пр-ва V.

Будем говорить, что автоморфизм G сохраняет F, если F(g(x),g(y))=F(x,y)

V

Композиция автоморфизмов F также сохраняет F. И для автоморфизма сохраняющего F обратный автоморфизм также сохраняет форму.

Поэтому множество автоморфизмов, сохраняющих форму F образуют группу относительно умножения(композиция). Эта группа называется группой формы F.

В частности группа бил. сим. формы называется ортогональной группой. А группа бил. кососм. формы называется симплектической группой. А группа эрмитовой полуторлин. формы – унитарной.

Замечание. Выясним какому условию должна удовлетворять матрица автоморфизма, чтобы он сохранял форму.

F- сим. или кососим. форма на пространстве V.

- базис в V

F-матрица А

g-матрица S

где - столбцы координат векторов.

F- эрмитова полуторалинейная форма

Теорема. Группа матриц вида {S | S^T AS=A} где А – невыр. сим. (кососим) матрица, изоморфна ортогональной симплектической группе формы с матрицей A в некотором базисе.

Теорема. Группа матриц вида {S | S^* AS=A}, где А – невырож. эрмитова матрица изоморфна унитарной группе с матрицей А в некотором базисе.

Квадратичные формы и группы.

Определение. Пусть φ – невырожденная кв. форма над конечномерном пр-ве V над полем P или эрмитова кв. форма на комплексном пр-ве V и g – автоморфизм пр-ва V, говорят, что g сохраняет форму φ если φ(g(x))= φ(x), для любого x из V. Легко видеть, что мн-во автоморфизмов сохраняет форму φ и образуют группу. Эта группа наз. группой формы φ.

Если φ- обычная квадратичная форма, то её группа называется ортогональной и обозначается О(φ). А если φ- эрмитова квадратичная форма, то её группа называется унитарной и обозначается U(φ).

Теорема. Всякий автоморфизм пр-ва V сохраняет кв. (эрмитову) форму ⇔ когда он сохраняет порожденную её бил. сим. (Эрмит) форму.

Следствие. Группа кв. (эрмит) формы совпадает с группой порожденной её билин. сим. (эрмит) формы.

O(φ)≅ {S| S^T AS =A}

U(φ)≅ {S| S^* AS =A}

А – некоторая невырожденная матрица формы φ в некотором базисе.

А=Е

эта группа, которая сохраняет квадратичную форму φ=

A=E

эта группа, сохраняющая форму φ=

φ=