Дискретные случайные величины

● Закон распределения случайной величины

1. Случайная величина принимает только целые значения . При этом вероятности возможных значений пропорциональны значениям: . Найдите значение константы и вероятность .

X	1	2	3	….	k	…	28
P	c	2c	3c	….	kc	…	28c

C(1+2+…+28)=1

2. Случайная величина принимает только целые неотрицательные значения . При этом . Найдите значение константы и вероятность .

X	0	1	2	…	k
P	c	c/6	c/6^2	…	c/6^k

● Независимые дискретные случайные величины

3. Независимые дискретные случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите вероятность .

4. Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите вероятность .

5. Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите вероятность .

6. Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите вероятность .

7. Независимые случайные величины и принимают только целые значения: – от до , – от до . Найдите , если известно, что возможные значения и равновероятны.

8. Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите .

9. Независимые случайные величины принимают только целые значения от до . Найдите вероятность , если известно, что все возможные значения равновероятны.

10. Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите вероятность того, что примут разные значения.

11. Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите вероятность .

● Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

12. Распределение дискретной случайной величины задано таблицей

Найдите математическое ожидание и вероятность .

13. Дискретная случайная величина принимает только целые значения , каждое с вероятностью . Найдите математическое ожидание и вероятность .

14. Распределение дискретной случайной величины задано таблицей

Найдите дисперсию .

15. Распределение случайной величины задано таблицей

Найдите математическое ожидание , среднее квадратичное отклонение и вероятность .

16. Для случайной величины известно, что . Найдите дисперсию .

17. Независимые дискретные случайные величины могут принимать только значения и . При этом , . Найдите математическое ожидание .

X	0	1	Y	0	1
P	0.1	0.9	P	0.9	0.1

18. Независимые дискретные случайные величины могут принимать только значения и . При этом , . Найдите математическое ожидание .

X	0	1	Y	0	1
P	0.1	0.9	P	0.6	0.4

19. Дискретные случайные величины распределены по закону, заданному таблицей

Найдите математическое ожидание .

20. Независимые случайные величины принимают только целые значения . Найдите математическое ожидание , если известно, что возможные значения равновероятны.

21. Для независимых случайных величин известно, что их математические ожидания , дисперсии , . Найдите дисперсию произведения .

22. Независимые случайные величины могут принимать только значения и . При этом , . Найдите математическое ожидание .

Xi	0	1
P	0.9	0.1

23. Независимые случайные величины могут принимать только значения и . При этом , . Найдите математическое ожидание .

24. Вероятность выигрыша рублей в одной партии равна , вероятность проигрыша рублей равна . Найдите дисперсию капитала игрока после партий.

● Основные дискретные законы распределения и их характеристики

25. На плоскости начерчены две окружности, радиусы которых и соответственно. Меньшая окружность содержится внутри большего круга. В большой круг наудачу бросают точек. Пусть случайная величина – число точек, попавших в малый круг. Вычислите математическое ожидание и дисперсию .

26. Производится независимых испытаний, состоящих в том, что одновременно подбрасываются монет. Пусть – число испытаний, в которых выпало герба. Найдите математическое ожидание .

– число испытаний, в которых выпало герба.

27. Случайные величины распределены по биномиальному закону с параметрами и . Найдите математическое ожидание .

28. Случайные величины независимы и распределены по биномиальному закону с параметрами и . Найдите математическое ожидание .

29. Отрезок длины поделен на две части длины и соответственно. Наудачу точек последовательно бросают на отрезок. – случайная величина, равная числу точек, попавших на отрезок длины . Найдите математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение величины .

30. Производится независимых испытаний, в каждом из которых подбрасываются игральные кости. Пусть – число испытаний, в которых все выпавшие цифры оказались . Найдите дисперсию .

31. Производится независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом испытании. Пусть – число успехов в испытаниях с номерами , – число успехов в испытаниях с номерами . Найдите дисперсию .

U- число успехов в испытаниях с номерами 1,2,3,4

V- число успехов в испытаниях с номерами 5,6,7

W- число успехов в испытаниях с номерами 8.9.10.

Каждая из величин имеет биномиальное распределение

32. На плоскости начерчены два квадрата, стороны которых и соответственно. Меньший квадрат содержится внутри большего квадрата. В большой квадрат случайным образом бросают точки до тех пор, пока не попадут в маленький квадрат. Пусть случайная величина – число бросаний. Найдите математическое ожидание и дисперсию .

Геометрическое распределение

33. В спортивной лотерее каждую неделю на 100 билетов разыгрывается палаток и рюкзаков. Турист решил каждую неделю покупать по одному билету до тех пор, пока он не выиграет палатку и рюкзак. Найдите среднее время реализации данного намерения (время измеряется в неделях).

T-время ожидания

T=T1+T2

T1, T2-независимы

Т1-время ожидания 1-го выигрыша

Т2-время ожидания др. выигрыша

34. В серии независимых испытаний, которые проводятся с частотой одно испытание в единицу времени, вероятность наступления события в одном испытании равна . Пусть – время ожидания наступления события раз (за все время ожидания). Найдите математическое ожидание и дисперсию .

Ti-время ожидания от (i-1)-ого до i-ого события

Геометрическое распределение

35. Случайные величины распределены по геометрическому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание .

36. Случайные величины независимы и распределены по геометрическому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание .

37. Случайные величины распределены по геометрическому закону. Найдите дисперсию , если их математические ожидания равны , а коэффициент корреляции и равен .

38. Случайная составляющая выручки равна , где – биномиальная случайная величина с параметрами и . Случайная составляющая затрат имеет вид , где – пуассоновская случайная величина. Найдите дисперсию прибыли, считая, что и – независимы, а .

39. Для пуассоновской случайной величины отношение . Найдите математическое ожидание .

● Ковариация и коэффициент корреляции

40. Даны математические ожидания случайных величин и : , , их дисперсии , и ковариация Cov . Найдите математическое ожидание и дисперсию .

41. Случайные величины принимают только значения и . Найдите дисперсию , если вероятности , а коэффициент корреляции и равен .

X	1	0	Y	1	0
P	0.5	0.5	P	0.5	0.5

42. Для случайных величин даны их математические ожидания и дисперсии , , а также коэффициент корреляции . Найдите математическое ожидание .

43. Случайные величины распределены по закону Пуассона с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание .

44. Случайные величины независимы и распределены по закону Пуассона с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание .

45. Случайные величины распределены по закону Пуассона. Найдите , если и , а коэффициент корреляции и равен .