1.4.4. Обробка результату багаторазових прямих вимірю­вань

При одноразовому вимірюванні фізичної величини отримати най вірогідніший результат та оцінити його точність надто складно і прак­тично неможливо. Для отримання най вірогіднішого результату вимі­рювання слід перейти до багаторазових вимірювань. Як показує дос­лід, при багаторазовому вимірюванні однієї й тієї ж фізичної величи­ни, проведеному за допомогою одного й того ж приладу, в однакових умовах, з однаковою старанністю, результати спостережень будуть (хоч і не значно) відрізнятись один від одного. Це вказує на те, що при багаторазових вимірюваннях результати спостережень та їх похибки є випадковими величинами. Виникнення випадкових похибок зумовлене спільним впливом на засіб та об'єкт вимірювання багатьох випадкових

факторів, між якими практично відсутній взаємозв'язок. Тому багато­разові вимірювання проводять з метою визначення та зменшення ви­падкової складової похибки. При цьому необхідно визначити, яке зна­чення прийняти за кінцевий результат вимірювання. Відповідь на це питання дає математична статистика, для якої ця задача є одним з ви­падків знаходження оцінок числових функцій розподілу.

Нормальний закон розподілу (загальні відомості). З теорії мате-

матичної статистики відомо, що за достатньо великої кількості випад­кових величин їх поява підпорядковується певному закону. Якщо по осі абсцис відкласти різні значення випадкових величин Х_ь а по осі ординат відносну кількість величин даного значення (тобто кількість величин даного значення N поділену на загальну їх кількість п), то при п — оо дістанемо криву, зображену на рис.1.4.4.

Ця крива характеризує закон нормального розподілу випадкових величин. В 1809 р. німецький математик Карл Фрідріх Гаус застосував цей закон для аналізу випадкових величин. Аналітична форма норма-

льного закону розподілу

випадкових величин має вигляд:

де м - математичне очікування випадкової величини (центр групу­вання її значень); а² - дисперсія випадкової величини (розсіювання зна­чень випадкової величини відносно центра групування).

1 ^п ₂ п ^і=1

Можна вважати, що м збігається з істинним значенням величини Х. Значення і та а можна виразити через Х_і:

1 п

^М* ⁼-^^Хі , ^а_х

Закон нормального розподілу випадкової величини дає змогу об­числити ймовірність перебування випадкової величини Х_і в певних межах. Причому закон нормального розподілу може точно описувати лише нескінченно велику сукупність випадкових похибок (генеральна сукупність). Так як кількість вимірювань не може бути нескінченною, це практично здійснити неможливо. Навіть при достатньо великій кі­лькості вимірювань виникають похибки, зумовлені багатьма фактора­ми (зміною умов проведення вимірювань, суб'єктивними факторами, що впливають на експериментатора тощо).

Як показала практика, в деяких випадках велика кількість вимірю­вань обмежена часом (обробки результатів вимірювань в екстремаль­них ситуаціях). Для вибірки з п значень Х_і оцінкою математичного сподівання випадкової величини (її най вірогіднішим значенням) є середня арифметична отриманих результатів спостере­ження:

- _ 1 п

^М_х ^{= Х = ~Х Хі}

Отже, середнє арифметичне є більш достовірним значенням, яке можна надати вимірюваній величині. Оскільки за оцінку дійсного зна­чення вимірюваної величини приймають середнє арифметичне резуль­татів спостережень, то і для оцінки випадкових похибок доцільно ви­користовувати відхилення результату спостережень від середнього арифметичного:

— — Хі Х

Якщо відхилення С_і надто малі, то результати вимірювань близькі одне до одного і, ймовірно, дуже точні. Якщо деякі з відхилень великі, то на точні результати вимірювань неможливо розраховувати.

В теорії ймовірності доводиться, що вибіркове середньо квадрати­чне відхилення окремих результатів спостережень (а_х) виражається через випадкові відхилення С_і за формулою Бесселя:

Потрібно відмітити, що алгебраїчна сума випадкових відхилень і-го результату спостереження від знайденого

~ п

значення х дорівнює нулю ( X С- — 0 ).

Таким чином, можна сформулювати кінцевий результат для зна­чення виміряної величини Хяк: значення Х=Х + 8* .

Довірчі межі результату вимірювання. Нормальний розподіл випадкових величин (рис.3.2) дає змогу обчислити ймовірність пере­бування випадкової величини X в певних межах. Так, можна вважати: з ймовірністю Р=0,683, що величина X не виходить за межі від ц-а до М+а (тобто перебуває в межах /и + а); з ймовірністю Р=0,954, що ве­личина X перебуває в межах / + 2а; з ймовірністю Р=0,997, що ве­личина X перебуває в межах / + 3а .

В теорії ймовірності розроблено методи побудови довірчих (на­дійних) меж, в яких за даної ймовірності перебуває істинне значення величини, що вимірюють, для випадку, коли число спостережень до­сить невелике та коли похибки підпорядковуються нормальному розподілу або близькому до нього.

Довірчі межі визначаються за нерівністю:

х - 1,8 < X- < х + 1,8-,

⁸ Х ⁸ Х

де і₈ - коефіцієнт Ст'юдента (цей коефіцієнт запропонований у 1908 р. англійським математиком Уїльямом Госсетом); 8 - - середньоквадратичне

Х

відхилення значення х (математичного очікування м).

При нормальному розподілі похибок можна вважати, що відхи­лення х від м не перевищує 8- = —ї= .

Алгоритм обробки результатів багаторазових вимірювань. Вза­галі, алгоритм обробки багаторазових прямих рівно точних вимірю­вань передбачає здійснення розрахунків відповідно до розглянутих положень та методів в наступній послідовності:

♦ відкинути або якомога зменшити відомі систематичні похибки;

• перевірити, чи відповідає вибірка (ряд вимірювань експеримен­ту) нормальному закону розподілу; при наявності грубих похибок у результатах вимірювання потрібно виявити їх за критеріями <2 або Ро­мановського і відкинути з подальших обчислень;

• якщо усі результати вимірювань Х_і мають однакову систематич­ну похибку АХ, спочатку обчислюють середньо квадратичне невиправ-лених результатів вимірювань:

х = — І х

де X - середнє арифметичне не виправлених результатів вимірювання; виправлений результат середнього арифметичного знаходять за формулою

х = X — Ах .

• обчислити середньоквадратичне відхилення результату вимірю­вань 8_х ;

• визначити оцінку середньо квадратичного відхилення середньо арифметичного значення 5- ;

• визначити довірчі межі, де з довірчою ймовірністю знаходиться істинне значення вимірюваної величини; для ймовірності Р=0,95 кое­фіцієнт Ст'юдента 4 можна приблизно обчислити для п > 4 за емпі­ричною залежністю: 1₈ = 1/0,52 — 0,8 / п ;

• визначити межі не виключеної систематичної похибки © обчис­лити допоміжний параметр відношення не виключеної систематичної похибки до середньоквадратичного відхилення середнього арифмети­чного за виразом: @ /8- , якщо 0/8- < 0,8, то не виключеними по­хибками можна знехтувати і вважати АА ~ є, де АА - надійна межа загальної похибки; є - випадкова похибка; якщо 0/8- > 8, можна знехтувати випадковою похибкою і вважати, що АА « є; якщо 0,8 < 0 / 8- < 8 , то при визначенні надійних меж загальної похибки

х

АА потрібно врахувати як випадкову, так і систематичну складові АА = ±К8_Е , де К знаходиться з формули:

т ,

2

К = Є + в /8- +

1

І, 0 ^{; 8}_Е

1 т ₂₂

-І0² + 8²

Зі=1 ^{1 х}

Представити результати вимірювання у вигляді: х = х ± АА

(при Р = 0,95) = (А ± А А )_дд5 . Такий запис стверджує, що з довірчою

ймовірністю Р = 95% шукане (істинне) значення вимірюваної величи­ни X знаходиться в інтервалі меж А - АА та А + АА. Однак істинне значення X може опинитися і за межами даного інтервалу з ймовірніс­тю 1-Р.

Правила округлень:

• якщо перша з цифр, що відкидається, менша за 5, то цифри, що залишаються, не змінюються (12,3 = 12);

• якщо перша з цифр, що відкидається, більша за 5, то остання з цифр, що залишається, збільшується на одиницю (3,8 = 4; 6,53 = 7);

• якщо перша з цифр, що відкидається, дорівнює 5, то остання з цифр, що залишається округлюється до парного числа (10,5 = 10;

9,5 = 10,0; 11,5 = 12,0);

• цифри ліворуч від коми, що відкидаються, замінюються нулями в показниковій формі (661 = 7-10²);

• показники, що вимірюються у тисячах, округлюються з точністю до одного знака після зап'яток.

Обробка результатів однократних прямих вимірювань. Однок­ратні (одноразові) вимірювання знаходять широке використання в ба­гатьох областях виробничої діяльності, а також в деяких випадках кон­тролю довкілля тощо. При таких вимірюваннях показ засобів вимірю­вання в більшості випадків і є результатом вимірювання, а похибка -граничне значення допустимої основної похибки вимірювального за­собу. Тому до проведення вимірювань приймають міри з підтримки нормальних умов використання засобів вимірювальної техніки.

Одноразове вимірювання використовують у випадках, коли випад­кова складова похибки мала по відношенню до не виключеної систе­матичної похибки, або у тих випадках, коли для їх проведення є виро­бнича необхідність (умови вимірювань не дозволяють провести повто­рне вимірювання). При цьому робити висновок про точність результа­тів можна тільки на підставі нормованих метрологічних характеристик засобів вимірювальної техніки.

Для характеристики точності засобу вимірювання вводять поняття зведеної похибки (у):

у = Ах* х_п100,

де Ах - абсолютна похибка; х_п- нормуюче або максимальне зна­чення шкали засобу вимірювання.

Зведена похибка визначає межі допустимої похибки та клас точно­сті вимірювального приладу. Наприклад, якщо клас точності приладу 0,5, то найбільша зведена похибка складає у = ±0,5%.

Практика одноразових вимірювань довела, що не виключені сис­тематичні похибки набагато більші за випадкові складові. Надійні ме­жі не виключених залишків систематичних похибок (©) можна пов'язати із зведеною похибкою приладу за допомогою наступного виразу:

у*Х К* Х„ 0 = =

100 100

де К - клас точності вимірювального приладу; Хп - нормуюче значення відлікового пристрою.

В разі спрямування випадкової складової похибки до мінімуму на­дійна межа похибки результату вимірювання АА буде наближено дорі­внювати надійній межі не виключених залишків систематичних похи­бок (АА ~ в).

Результат вимірювання повинен мати вигляд (після округлення йо­го числового значення), відповідний до значення надійної межі похиб­ки АА (при цьому значення АА, як правило, не наводиться). Наприклад, під час вимірювання відносної вологості повітря аналоговим приладом з класом точності 1,5 з однобічною шкалою 0 - 100% отримано ре­зультат спостереження 81,6%.

Далі слід визначити:

• надійні межі не виключених залишків систематичних похибок за формулою:

1,5* 100 0 = = 1,5%

100 _.

• запис результату вимірювання з округленням має вигляд: А ~ 82%.