Задача 10. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида. Метод подбора или метод неопределенных коэффициентов.
Дано уравнение
(1)
С постоянными
вещественными коэффициентами
.
Общее решение
неоднородного уравнения или уравнения
с правой частью
равно сумме общего решения соответствующего
однородного уравнения и какого-либо
частного решения неоднородного уравнения
.
Для правых частей специального вида частное решение можно найти так называемым методом подбора.
Общий вид правой части уравнения (1), при котором возможно применить метод подбора, следующий:
(2),
где
многочлены степени
соответственно.
В этом случае частное решение уравнения (1) находится в виде
(3),
где
–
многочлены от
–й
степени общего вида с неопределенными
коэффициентами, а
–
кратность корня
характеристического уравнения (если
не является корнем характеристического
уравнения, то
).
Частные случаи , определяемые формулой (2):
I.
.
1) если число
не является корнем х.у., то
,
где
–
многочлен той же степени, что и
,
но с неопределенными коэффициентами.
2) число
является корнем
кратности
,
то
.
II.
,
то
если
1)
не является корнем х.у., то
,
.
2) число является корнем х.у. кратности , то
.
III.
,
то
если
1) число
не является корнем х.у., то
.
2) число является корнем х.у. кратности , то
.
Замечание. Первые два вида являются частными случаями III вида.
Пример 16.
Найти общее решение уравнения
.
Решение.
Характеристической
уравнение (х.у.)
имеет различные корни
,
поэтому общее решение
.
Находим частное
решение
;
это многочлен
–
не является корнем х.у., поэтому
,
А, В, С – неопределенные (неизвестные) коэффициенты.
Подставляя
в уравнение, получим
.
Откуда
Решая систему,
находим
.
Следовательно,
и общее решение будет
.
Пример 17.
Решить уравнение
.
Решение.
.
– нее является
корнем х.у., поэтому
.
Подставляя в уравнение
.
Приравнивая
коэффициенты при
слева и справа, получим систему уравнений
относительно неизвестных А и В.
.
.
.
Замечание.
Если правая часть уравнения
(1) имеет вид:
,
то частное решение уравнения (1)
,
где
–
частное решение уравнения
;
–
частное решение уравнения
.
Упражнения. Определить вид частного решения.
1)
.
Ответ:
.
2)
.
Ответ:
.
3)
.
Ответ:
.
4)
.
Ответ:
.
Для следующих линейных неоднородных дифференциальных уравнений определить вид частного решения не находя числовых значений коэффициентов:
-
1.
.2.
.3.
.4.
.5.
.6.
.7.
.8.
.9.
.10.
.11.
.12.
.13.
.14.
.15.
.16.
.17.
.18.
.19.
.20.
.21.
.22.
.23.
.24.
.25.
.26.
.27.
.28.
.29.
.30.
.
Упражнения. Решить уравнения.
1)
.
Ответ:
.
2)
.
Ответ:
.
3)
.
Ответ:
.
4)
.
Ответ:
.
Замечание. Следует
найти отдельно два частных решения
соответствующие
,
но можно найти их и вместе.