Задача 7. Смешанные задачи на дифференциальные уравнения первого порядка.

Упражнения. Определить тип уравнения и решить его:

1. . Ответ: с разделяющимися переменными,

.

2. . Ответ: однородное, .

3. . Ответ: линейное, .

4. . Ответ: Бернулли, .

Определить тип уравнения и решить:

1.	.
2.	.
3.	.
4.	.
5.	.
6.	.
7.	.
8.	.
9.	.
10.	.
11.	.
12.	.
13.	.
14.	.
15	.
16.	.
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.	.
27.	.
28.	.
29.	.
30.	.

Задача 8. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

Укажем три вида дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка

I. Уравнение вида

(1)

После n– кратного интегрирования получается общее решение.

II. Уравнение не содержащее искомой функции и ее производных до порядка включительно

. (2)

Порядок такого уравнения можно понизить на единиц заменой

.

Тогда уравнение (2) примет вид .

Из последнего уравнения, если это возможно, определяют , а затем находят из уравнения

,

– кратным интегрированием.

III. Уравнение не содержит независимого переменного

. (3)

Подстановка , позволяет понизить порядок уравнения на единицу. Все производные выражаются через производные от новой функции :

Пример 8.

Найти общее решение уравнения .

Решение.

,

,

.

Пример 9. Решить уравнение .

Решение.

Данное уравнение не содержит искомой функции и ее производной, уравнение II типа. Полагаем , тогда . После этого уравнения примет вид .

Разделяя переменные, найдем , заменяя на , получим . Интегрируя последовательно, будем иметь

.

Ответ: .

Пример 10. Решить уравнение .

Решение.

Данное уравнение III типа. Введем обозначение , получим - уравнение Бернулли. Подстановкой оно сводится к линейному уравнению .

Заменяя на , получим . Интегрируя, будем иметь

или ; .

Замечание. При решении задачи Коши для уравнений высших порядков целесообразно определять значения постоянных в процессе решения, а не после нахождения общего решения уравнения.

Пример 11. Решить задачу Коши .

Решение.

Полагая , получим или откуда ; .

Разделяя переменные, найдем . Интеграл в правой части в элементарных функциях не вычисляется, как интеграл от дифференциаль-

ного бинома, случай неберущегося интеграла.

Но если использовать начальные условия , то и тогда

Ответ: .

Упражнения. Решить уравнения.

1) . Ответ: .

2) . Ответ: .

3) . Ответ: .

4) . Ответ: .

Решить уравнения, допускающие понижение порядка

1.	.
2.	.
3.	.
4.	.
5.	.
6.	.
7.	.
8.	.
9.	.
10.	.
11.	.
12.	.
13.	.
14.	.
15.	.
16.	.
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.	.
27.	.
28.	.
29.	.
30.	.

Задача 9. Линейные дифференциальные уравнения 2– го и n–го порядка.

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

, (1)

где - вещественные постоянные числа. Решение уравнения (1) находим в виде

- подстановка Эйлера (2)

- неизвестная постоянная. Подставляя (2) в (1), получим уравнение

, (3)

которому удовлетворяет .

Уравнение (3) называется характеристическим уравнением.

Пусть - корни уравнения (3), причем среди них могут быть и кратные.

Возможны следующие случаи:

1) - вещественные и различные

Тогда фундаментальная система решений уравнения (1) имеет вид и общим решением искомого уравнения будем

.

2) Корни характеристического уравнения вещественные, но среди них есть кратные. Пусть, например,

, т. е. – является – кратным корнем уравнения (3), а остальные корнем различные.

Фундаментальная система решений в этом случае имеет вид

,

а общее решение

.

3) среди корней характеристического уравнения есть комплексные числа.

Пусть для определенности

,

А остальные корни вещественные (комплексные корни попарно сопряженные, т. к. по предположению коэффициенты уравнения (3) – вещественные).

Фундаментальная система решений имеет вид

а общее решение

4) в случае, если является – кратным корнем уравнения (3), то также будет – кратным корнем и фундаментальная система решений будет иметь вид

а общее решение

Пример 12. Найти общее решение уравнения .

Решение.

Составляем характеристическое уравнение .

Находим . Так как все они действительные и различные, то общее решение имеет вид .

Пример 13. Найти общее решение уравнения .

Решение.

Характеристическое уравнение имеет вид

.

Отсюда . Корни вещественные, причем один из них – двукратный, поэтому общее решение имеет вид

.

Пример 14. Решить уравнение .

Решение.

Характеристическое уравнение имеет корни , , .

Общее решение

.

Пример 15. Решить уравнение .

Решение.

Характеристическое уравнение или имеет корни – однократный и – пара двукратных

мнимых корней. Общее решение

.

Упражнения. Проинтегрировать следующие однородные линейные уравнения.

1) . Ответ: .

2) . Ответ: .

3) . Ответ:

.

4) Ответ: ,

. .

Решить однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:

1.	.
2.	.
3.	.
4.	.
5.	.
6	.
7.	.
8.	.
9.	.
10.	.
11.	.
12.	.
13.	.
14.	.
15.	.
16.	.
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.	.
27.	.
28.	.
29.	.
30.	.

Указание. Воспользоваться формулой извлечения корня –й степени из комплексного числа

,

.