Задача 4. Уравнение Бернулли.

Уравнение Бернулли имеет вид

(1)

(при это уравнение является линейным).

Уравнение (1) умножим на

(2)

Обозначим .

Уравнение (2) умножим на

или

(3)

(3) – линейное уравнение относительно переменной .

Таким образом, уравнение Бернулли можно привести к линейному уравнению.

Замечание. Уравнение Бернулли может быть проинтегрировано также методом вариации постоянной, как линейное уравнение и с помощью подстановки .

Пример 5.

Решить уравнение Бернулли .

Приведем уравнение к виду

.

Обе части уравнения умножим на и сделаем замену , причем, , получим - это линейное уравнение относительно .

Получили .

Поэтому .

Ответ: .

Упражнения. Решить уравнения

1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

3. . Ответ: .

Уравнение следует переписать в виде

или - это уравнение Бернулли относительно функции .

4. . Ответ: .

Обе части уравнения следует умножить на и сделать замену .

Решить уравнения Бернулли:

1.	.
2.	.
3.	.
4.	.
5.	.
6.	.
7.	.
8.	.
9.	.
10.	.
11.	.
12.	.
13.	.
14.	.
15.	.
16.	.
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.	.
27.	.
28.	.
29.	.
30.	.

Задача 5. Уравнения в полных дифференциалах.

Дифференциальное уравнение вида

(1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции , т.е.

.

Для того, чтобы уравнение (1) являлось уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области изменения переменных выполнялось условие

(2)

В этом случае общий интеграл имеет вид или

.