§ 28. Модели газовых шаров.

Математическая формулировка проблемы

Сформулируем уравнения, описывающие внутреннее строение звезд. Уравнение равновесия (2.3):

. (4.13)

где r  расстояние от центра звезды, M (r)  масса внутри шара радиуса r:

.

Или

. (4.14)

Пусть L(r)  мощность энергии, выделяемой внутри сферы радиуса r. Тогда:

.

Это интегральное соотношение можно свести к дифференциальному уравнению:

. (4.15)

В равновесии количество энергии, выделяемой в единицу времени внутри сферы радиуса r, должно равняться количеству анергии, переносимой за то же время через эту сферу. Тогда поток энергии, очевидно, равен . Если этот поток определяется теплопроводностью, то (см. "Молекулярную физику"):

,

где   коэффициент теплопроводности. Как известно

.

В случае теплопроводности, осуществляемой переносом излучения, для фотонного газа , (a - постоянная Стефана-Больцмана, см. Приложение 1). Тогда

(4.16)

К приведенным уравнениям необходимо добавить замыкающие уравнения: уравнение состояния и функциональные зависимости  и  от параметров среды (см. предыдущий параграф), а также граничные условия: в центре звезда при все величины должны быть конечными; на поверхности звезды при ,  полная масса звезды,  светимость звезды.

§ 29. Модели химически однородных газовых шаров.

Применение методов подобия

Уравнения равновесия звезды для заданного химического состава , конкретного типа ТЯР и механизма переноса энергии можно решить численно с помощью компьютеров, и тем самым рассчитать структуру звезды. Однако некоторые соотношения, типа тех, что приведены в § 26 для звезд ГП, могут быть установлены без привлечения компьютерных методов, и даже не решая уравнения, а лишь с помощью соображений подобия. Продемонстрируем использование метода подобия для проблемы равновесия звезд.

Рассмотрим звезду с однородным химическим составом ( = const), веществом которой является идеальный газ. Равновесие такой звезды описывается уравнениями (4.7, 4.8, 4.11, 4.134.16). Сделаем в этих уравнениях замену переменных  от размерных величин перейдем к безразмерным:

где  средняя плотность звезды, T_s  некоторая пока неопределенная температура, .

В новых переменных уравнение (4.13) приобретает вид:

.

Выберем T_s следующим образом:

. (4.17)

(именно такое выражение для центральной температуры было получено в §17). Тогда

. (4.18)

С учетом (4.7, 4.8) остальные уравнения запишем в форме:

, (4.19)

, (4.20)

, (4.21)

где

, (4.22)

 (4.23)

некоторые безразмерные комплексы.

Граничные условия в безразмерной форме приобретают вид:

при  = 0 все величины конечны;

при  = 1  = 0, m = 1, l = 1 .

Далее логика рассуждений такова. Решив уравнения (4.18  4.21), найдем функциональные зависимости искомых величин от . При этом ₁ и ₂ войдут в эти решения в качестве параметров. Важно подчеркнуть, что хотя конкретные числовые значения этих параметров нам не известны (их можно найти, лишь решив полностью задачу с граничными условиями), тем не менее ₁ и ₂ являются фиксированными числами (см. соотношения (4.22, 4.23). Это и позволяет установить связи между светимостью, массой, радиусом и температурой звезды. Используя этот подход, А. Эддингтон и Б. Стремгрен смогли объяснить различные наблюдаемые зависимости между звездными параметрами еще в то время, когда не только не было компьютеров, но даже мало что было известно о ТЯР.

Получим связи между звездными параметрами для некоторых конкретных случаев (результаты удобно представлять в логарифмической форме).

Рассмотрим вначале вариант, когда  не зависит от  и T . Тогда из (4.22, 4.23) найдем:

,

, ( ; pp  цикл),

, ( ; CN  цикл).

Если учесть зависимость  от  и T ( , , см. предыдущий параграф), то для (pp  цикл):

,

.

для (CN  цикл)

,

.

Отсюда с помощью закона Стефана-Больцмана найдем

,

в случае постоянного  , и

для  , зависящего от  и T.

Полученные соотношения дают связь между интересующими нас параметрами. Сравнение их с результатами наблюдений приведены на рис. 29, 30, 34.

Следует сразу оговориться, что эти расчеты носят, скорее, иллюстративный характер. Выше не учитывался ряд факторов, например, влияние конвекции. Во всех звездах (пока оставляется в стороне вопрос о строении белых карликов) в той или иной мере развивается конвекция, причем конвективные зоны охватывают либо центральные части звезды, либо внешние. Неучет этого фактора приводит к тому, что не все результаты, полученные методом подобия, точно описывают наблюдаемые соотношения. Более того, если на каком-то радиусе сменяется режим теплопереноса, то задача о структуре звезды не поддается решению методом подобия. Однако, как видно даже из результатов наших простейших расчетов, эмпирические зависимости описываются более-менее удовлетворительно. Так, в разумных пределах заключен показатель степени соотношения светимость-масса (от 3 до 5.5). Похожие зависимости получаются между радиусом и массой звезды.