Лабораторная работа № 4. Физический маятник.

Цель работы: определение характеристик физического маятника.

Приборы и принадлежности: маятник ФП1А, секундомер, линейка.

Указания по организации самостоятельной работы.

Изучить теорию лабораторной работы.

Подготовить тетрадь для выполнения данной лабораторной работы:

выписать рабочие формулы с обозначением всех используемых размерностей;

подготовить рекомендуемые таблицы для записи результатов измерений и вычислений.

Подготовить ответы на вопросы к допуску и к защите лабораторной работы:

Какой маятник называют математическим?

1. Какой маятник называют физическим?

2. Вывести дифференциальное уравнение колебаний физического маятника.

3. Решение уравнения собственных колебаний.

4. Дать определение фазы колебаний.

5. От каких величин зависит частота собственных колебаний физического маятника.

6. Зависит ли период гармонических собственных колебаний физического маятника от амплитуды колебаний.

7. Период колебаний математического маятника.

8. От чего зависит приведенная длина физического маятника.

9. Какие свойства у точки качания.

10. Вывести формулу относительной ошибки определения периода собственных колебаний.

11. Вывести формулу относительной ошибки определения ускорения свободного падения.

Краткая теория и описание установки.

Физическим маятником называется тело произвольной формы, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, проходящей выше центра масс.

Математическим маятником называется тело, подвешенное на невесомой и нерастяжимой нити, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием до точки подвеса, и совершающее колебания под действием силы тяжести.

Выведем уравнение собственных колебаний физического и математического маятников. Рассмотрим физический маятник, изображенный на рис. 7 . Маятник, совершает колебания вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа на расстоянии а от центра масс С. При отклонении маятника от положения равновесия на угол φ возникает вращательный момент М силы тяжести, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Вращательный момент М равен векторному произведению а – вектора расстояния от точки подвеса О до центра масс с – на вектор силы тяжести mg :

М = [ а X mg] (4.1)

Модуль вращательного момента равен:

М = - mg а sin φ, (4.2)

где m – масса физического маятника;

g - ускорение свободного падения;

а - расстояние от точки подвеса до центра масс;

φ - угол отклонения маятника от положения равновесия.

Движения маятника – это часть вращательного движения – и поэтому описывается уравнением вращения твердого тела:

Јε = Μ (4.3)

где Ј - момент инерции физического маятника относительно оси,

проходящей через точку подвеса;

ε – угловое ускорение маятника;

Силами сопротивления пренебрегаем.

Вводя систему отсчета ( рис 6,7) , расписываем уравнение движения (4.3) по осям координат.

По оси Х :

d² ε

Ј —— = - mg а sin φ, (4.4).

d t²

Знак минус в формуле (4.2) означает, что вращательный момент направлен на уменьшение угла отклонения φ. Для малых углов отклонений sin φ ≈ φ , ( что справедливо для углов порядка φ ≈ 0.1 радиан или ≈ 6⁰) и уравнение принимает вид:

Ј φ^″ + mg а φ = 0 (4.5).

Деля (4.5) на момент инерции Ј, получаем дифференциальное уравнение колебаний физического маятника:

mg а

φ^″ + —— φ = 0 (4.6).

Ј

Обозначая коэффициент при φ через ω₀² , получаем стандартное уравнение колебаний:

φ^″ + ω₀²φ = 0 (4.7).

Это уравнение называется уравнением собственных колебаний, которое описывает все собственные колебания, независимо от их природы.

Решение уравнения имеет вид:

φ = φ₀ соѕ( ω₀ t +α₀ ), (4.8),

где φ₀ – начальное угловое смещение;

( ω₀ t +α₀ ) - фаза колебаний;

α₀ – начальная фаза колебаний;

ω₀ – циклическая частота колебаний.

Из уравнения следует, что при малых углах отклонения от положения равновесия, физический маятник совершает гармонические колебания с частотой ω₀:

mg а

ω₀ = { ——}^0..5 (4.9).

Ј

ω₀ называется частотой собственных колебаний физического маятника. В соответствии с этим выражением период собственных колебаний физического маятника Т₀ определяется формулой:

2π Ј

Т₀ = —— = 2π { ———}^0..5 (4.10).

ω₀ mg а

Период собственных колебаний физического маятника Т₀ зависит от массы, момента инерции маятника относительно оси вращения и расстояния между осью вращения и центром масс. Этот результат является приближенным, и справедлив только для малых колебаний, т.е для углов отклонения φ ≈ 6⁰ , при которых колебания являются гармоническими.

При больших углах отклонения колебания маятника нелинейны и не являются гармоническими. Период колебаний физического маятника будет зависеть от угла начального отклонения φ₀. Приближенно эта зависимость имеет вид:

φ₀²

Т = Т₀( 1 + —— ). (4.11).

16

Частным случаем физического маятника является математический маятник. В этом случае момент инерции материальной точки массой m (пренебрегли размерами) относительно оси вращения равен Ј = m∙l₀² , где за l₀ традиционно обозначается длина нити подвеса математического маятника. Для наших обозначений l₀ = а и период колебаний математического маятника запишется хорошо известной формулой:

l₀

Т₀ = 2π ( ——)^0.5 (4.11).

g

Если сопоставить выражения для периодов колебаний физического (4.10) и математического маятника (4.11) можно заметить, что при длине математического маятника

Ј

L =. ——— (4.12)

m а

периоды колебаний совпадают.

Длина математического маятника L, при которой периоды математического и физического маятника совпадают, называется приведенной длиной физического маятника.

На прямой, соединяющей точки подвеса и центр масс ( рис.7), и на расстоянии приведенной длины физического маятника от точки подвеса находится точка К называемая центром качания физического маятника.

Согласно теореме Штейнера, момент инерции физического маятника относительно оси О равен:

Ј = Ј_с + m а² (4.13),

где Ј_с - момент инерции физического маятника относительно оси,

параллельной оси качания О и проходящей через центр тяжести;

Подставляя (4.13) в (4.12), получим выражение для приведенной длины физического маятника:

Ј_с + m а² Ј_с

L =. ——— = а + ——— (4.14).

m а m а

Из (4.14) следует, что центр качания находится всегда ниже центра масс ( ОК = L больше ОС = а ).

Точка подвеса О и центр качания К обладают свойством взаимозаменяемости. Это значит что при переносе точки подвеса О в центр качания период колебаний физического маятника не изменится.

Согласно (4.14), можно определить момент инерции физического маятника, если известны положение центра тяжести и масса маятника:

Ј= L· m а (4.15).

Упражнение 1. Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

Определить периоды Т₁ и Т₂ колебаний математического маятника ( груза на нити) для двух существенно различных длин нити l₁ и l₂. Например отличающиеся в два раза. Для этого:

1.Подвесить груз на нити и измерить длину нити от точки подвеса до центра тяжести груза. Результаты занести в таблицу

Длина подвеса (м)
№	l1 i	Δ l1 i	(Δ l1 i)2	Δ l1 ср.кв
1
2
3
<>	< l1 i >	< Δ l1 i >

< l₁> = < l₁> ± Δ l₁

2. Измерить три раза секундомером время t полных N колебаний и определить период колебаний математического маятника длиной l₁. Результаты занести в таблицу.

Период колебаний Т1
№	t	Т1i	Δ Т1 i	Δ Т1 i)2	Δ Т1 ср.кв
1
2
3
<>		< Т1>	<Δ Т1 >

< Т₁> = < Т₁> ± Δ Т₁

3. Выполнить то же для маятника длиной l₂

4. Вычислить ускорение свободного падения в соответствии с формулой:

4π² (l₂ – l₁)

g = ——————

( Т₂²- Т₁²)

5. Вычислить погрешность измерений g как погрешность косвенно измеряемой величины:

2 D π 2 Δ l₁ + 2Δ l₂ 2 Δ Т₁ + 2Δ Т₂

ε ≈ ¾¾ + ¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾¾ (4.16).

π (l₂ – l₁) ( Т₂²- Т₁²)

Упражнение 2. Определение приведенной длины физического маятника.

Определить приведенную длину физического маятника. Для этого:

1. Определить период физического маятника. Измерить три раза секундомером время t полных N колебаний и определить период колебаний физического маятника длиной l₁. Результаты занести в таблицу.

Период колебаний Т
№	t	Тi	Δ Т i	Δ Т i)2	Δ Т ср.кв
1
2
3
<>		< Т>	<Δ Т >

< Т> = < Т> ± Δ Т

2. Определить центр тяжести физического маятника, используя положение равновесия. Результат представить в виде:

< а> = < а> ± Δ а

3. Вычислить приведенную длину физического маятника, используя известное значение ускорения свободного падения g = 9.81 ± 0.005 м/с² :

g Т²

L = ¾¾¾¾

4 π²

1. Проверить совпадает ли период Т_м соответствующего математического маятника длиной L с периодом физического маятника. Результаты измерений занести в таблицу:

Период колебаний Т
№	t	Тмi	Δ Тмi	(Δ Тм i)2	Δ Т ср.кв
1
2
3
<>		< Тм>	<Δ Тм >

< Т_м> = < Т_м> ± Δ Т_м

< Т_ф> = < Т_ф> ± Δ Т_ф

Упражнение 3. Определение момента инерции физического маятника

1.Используя известную массу, приведенную длину физического маятника и расстояние от точки подвеса до центра масс, вычислить момент инерции физического маятника (2.15):

Ј= L· m а

2. Вычислить относительную и абсолютную ошибки определения момента инерции. Выражение для относительной ошибки получить самостоятельно.

3. Результат записать в виде

Ј = < Ј > ± Δ Ј

Литература:

[1] § 140-142 . [2] §6.1.