7. Лабораторные работы (лабораторный практикум).

11. 7.1 Перечень лабораторных работ.

№№ и названия тем	Цель и содержание лабораторной работы	Результаты лабораторной работы
Лабораторная работа № 1. Определение массы цилиндра
Тема 4. Измерения в физике.	Знакомство с теорией погрешностей. Определе- ние погрешностей косвенных измерений.	Измерение массы цилиндра. Определение погрешности измерения массы цилиндра.
Лабораторная работа № 2. Определение коэффициента вязкости жидкости методом Стокса.
Тема 7. Элементы механики сплошных сред.	Ознакомление с методом измерения вязкости жидкости.	Измерение коэффициента вязкости глицерина.
Лабораторная работа № 3. Измерение сопротивлений мостиком Уитстона
Тема 9. Постоянный электрический ток.	Изучение законов постоянного тока.	Измерение сопротивлений
Лабораторная работа № 4. Физический маятник
Тема 11. Колебания.	Изучение собственных колебаний системы.	Определение частоты колебаний физического маятника.
Лабораторная работа № 5 Определение диаметра проволоки с помощью дифракции света.
Тема 12. Волновые процессы	Изучение законов дифракции	Определение диаметра проволоки
Лабораторная работа № 6. Определение длины волны полупроводникового лазера с помощью дифракционной решетки
Тема 12. Волновые процессы	Изучение работы полупроводникового лазера	Определение ширины запрещенной зоны полупроводника
Лабораторная работа № 7. Определение постоянной адиабаты γ= Ср\ Сv для воздуха.
Тема 21. Элементы термодинамики.	Изучение законов термодинамики	Определение постоянной адиабаты. Знание законов
Лабораторная работа № 8. Изучение законов сохранения в физике на примере фотоядерных реакций
Тема 19. Атомное ядро.	Изучение законов сохранения в физике.	Определение характерист- ик элементарных частиц

10. 7.2 Погрешности измерений.

10. При расчетах лабораторных работ необходимо учитывать, что любые экспериментальные данные измеряются с некоторыми погрешностями (или ошибками измерений). Необходимо научиться определять погрешности измерений и оформлять результаты лабораторной работы с учетом этих погрешностей.

11. Можно разделить погрешности измерений на три типа.

1. Систематические погрешности.

2. Погрешности приборов.

3. Случайные погрешности.

Систематические погрешности - погрешности измерений, возникающие из-за ошибок методики измерений (неучета постоянно действующих факторов, неправильного расположения приборов и т.д.) При тщательной проверке методики измерений этот тип погрешностей можно исключить.

Погрешности приборов - погрешности приборов, возникающие из-за ограничений при изготовлении приборов.

Каждый прибор изготовлен с определенной точностью при изготовлении деталей и элементов этих приборов и, следовательно, вносит некоторую погрешность в результат измерений. Эта погрешность учитывается следующим образом.

На электрических приборах указывается класс точности прибора С. Это относительная точность измерений, выраженная в процентах, при данных пределах измерений:

D а_пр

С = ¾¾ 100 %

а_ном

где D а_пр – погрешность, которую дает прибор,

а_ном - номинальное значение ( максимальное значение измеряемой величины а, которое может измерить прибор при данных пределах измерений).

Например, если класс точности амперметра С = 0.5 с пределом измерения 5 А, то апмперметр измеряет ток с погрешностью D а_пр = (0.5 × 5)/100 = 2.5×10^-2 А

При отсутствии класса точности можно принимать погрешность прибора, равную половине цены деления прибора:

ω

D а_пр = ¾¾ (1.1)

2

где ω –цена деления прибора.

Цена деления прибора может быть определена, если известно номинальное значение и полное число делений шкалы N, или разность значений величины и соответствующее ей число делений:

а_ном а₂ - а₁

ω = ¾¾ = ¾¾¾¾ (1.2)

N N₂ – N₁

Случайные погрешности. – погрешности измерений, возникающие из-за различного рода случайных факторов, которые принципиально нельзя заранее учесть. Случайные погрешности вычисляют после процесса измерения. Рассмотрим случайные погрешности более подробно.

Измеряемую величину а, измеряют в одинаковых условиях несколько раз (например n ):

а₁ , а₂ , а ₃ × × ×, а_i , × × × а_n

За истинное значение принимается среднее арифметическое значение:

S а_i

а_ист = < а > = ¾¾¾ (1.3).

n

Абсолютной погрешностью отдельного ( i–го ) измерения называют модуль отклонения измеряемой величины от истинного значения:

D а _i = ç < а > - а _i ç

Затем рассчитывают среднюю арифметическую погрешность серии измерений:

S D а_i

<D а > = ¾¾¾ (1.4).

n

Погрешность серии измерений с учетом погрешности прибора рассчитывается как:

D а = {(D а _пр}² + (<D а > )² }^0.5 (1.5)

Результат серии измерений величины а записывают в виде:

а = < а > ± D а ( размерность системы СИ ).

В этом выражении учитывается средняя арифметическая погрешность измерений. Но в эту погрешность равноправно входят погрешности каждого отдельного измерения. Однако частоты появления больших и малых отклонений от среднего арифметического различны. Малые отклонения от среднего часты, а большие отклонения встречаются достаточно редко. В теории вероятности этот факт находит отражение в функции распределения ошибок., которая была получена Ф.Гауссом:

1 (Δa)²

W(Δa) = ¾¾¾ exp{- ¾¾¾ } (1.6).

(2π )^0.5σ 2 σ²

Функция W(Δa) описывает распределение абсолютных погрешностей, определяет плотность вероятности появления погрешности Δ a (см. рис.1). Эта же функция W(Δ a) = W ( а - < а >) описывает плотность вероятности отклонения величины а от среднего < а > , или плотность вероятности получения в этой серии измерений величины а .

Величина σ² называется дисперсией. Дисперсия определяет ширину распределения W(Δ a), чем больше σ² , тем шире распределение, больше расплывается кривая, и, следовательно, больше вероятность появления

< а > - Δ a < а > < а > + Δ a

0

Рис.1 D а

больших погрешностей. Параметр σ называется средним квадратичным

отклонением. Для конечного числа измерений, когда n ≠ ∞, приближенное значение σ вычисляется по результатам опыта:

n

Σ (D а_i)²

i = 1

σ ≈{¾¾¾¾¾¾ }^0.5 (1.7).

n –1

Вероятность попадания измеряемой величины а в интервал значений :

(< а > - D а ) < а < (< а > + D а ) называется надежностью измерений Р и равна:

< а > + D а

Р{ (< а > - D а ) < а < (< а > + D а ) } = ∫ W ( а - < а >) d а ; (1.8).

< а > - D а

Сам интервал (< а > - D а ) < а < (< а > + D а ) называется доверительным интервалом. Таким образом доверительный интервал – это интервал значений, в который попадает истинное значение измеряемой величины с вероятностью ( или надежностью ) Р.

Надежность измерений задается самим экспериментатором. Следует отметить, что интеграл (1.8) в бесконечных пределах равен 1 . Это означает, что при надежности измерений Р = 1, доверительный интервал равен бесконечности. Другими словами при измерениях с надежностью Р=1 “ можно попасть только пальцем в небо ”. При уменьшении надежности доверительный интервал также уменьшается.

Так при надежности измерений Р=0.67 доверительный интервал равен σ, а при Р =0.85 доверительный интервал равен 2σ.

Распределение Гаусса справедливо при бесконечно большом числе измерений. Если число измерений n конечно, то погрешности измерений распределяются по закону Стьюдента. В этом случае средние квадратичные погрешности рассчитываются по формуле:

Σ (D а_i)²

i = 1

D а_ср.кв.= t_{Р, п} {¾¾¾¾¾¾ }^0.5 (1.9).

n (n –1)

где t_{Р, п} – коэффициент Стьюдента, зависящий от выбранной надежности измерений и числа выполненных измерений. Коэффициенты Стьюдента приведены в таблице 1. Следует обратить внимание на увеличение коэффициентов t_{Р, п} при увеличении надежности измерений и уменьшении числа измерений. Для получения достаточно небольших средних квадратичных ошибок следует оптимальным образом выбирать надежность и число измерений!

Погрешность серии измерений с учетом погрешности прибора и средней квадратичной ошибки рассчитывается как:

D а = {(D а _пр}² + (D а _ср.кв. )² }^0.5 (1.10).

Таблица 1. Коэффициенты Стьюдента

Р n	0.8	0.9	0.95	0.98	0.99
2	3.1	6.3	12.7	31.8	63.7
3	1.9	2.9	4.3	7.0	9.9
5	1.5	2.1	2.8	3.7	4.6
7	1.4	1.9	2.4	3.1	3.7
10	1.4	1.8	2.3	2.8	3.3
20	1.3	1.7	2.1	2.5	2.9
40	1.3	1.7	2.0	2.4	2.7
60	1.3	1.7	2.0	2.4	2.7
120	1.3	1.7	2.0	2.4	2.6
∞	1.3	1.6	2.0	2.3	2.6

Относительная погрешность серии измерений ( в процентах ) рассчитывается как :

D а

ε = ¾¾¾ ∙ 100%

< а >

При обычных измерениях относительные погрешности измерений составляют проценты или их доли. Это сказывается в третьей значащей цифре. Поэтому для сокращения объема вычисления абсолютных погрешностей можно не учитывать какую либо погрешность, если она меньше в два раза .

Действительно, пусть D а _пр= (D а _ср.кв. )/2. Тогда

_______________________ ________________

D а = √ (D а _пр)² + (D а _ср.кв. )² = √ 1.25 (D а _ср.кв. )² ≈ 1.1D а _ср.кв.

Следовательно, учет меньшей ошибки приводит к поправке в четвертой значащей цифре.

Окончательный результат записывается в виде:

а = < а > ± D а При надежности измерений Р и числе измерений n.

Такая запись означает, что истинное значение измеряемой величины а с вероятностью Р попадает в интервал значений (< а > - D а ) < а < (< а > + D а ).