
- •Глава I. Классическое и квантовое описание оптического поля.
- •§ 1. Постулаты квантовой механики и квантовой оптики.
- •§ 2. Классический гармонический осциллятор
- •§3. Квантовый гармонический осциллятор в стационарном состоянии
- •§ 4. Квантовый гармонический осциллятор в когерентном состоянии
- •5. Квантование электромагнитного поля в вакууме
- •§ 6. Уравнения максвелла для поля в среде
- •§ 7. Когерентность и монохроматичность электромагнитного поля
- •Глава II. Рапространение электромагнитной волны в нелинейной среде.
- •§ 8. Общие представления о нелинейном отклике среды
- •§ 9. Нелинейная геометрическая оптика
- •§ 10. Нелинейное параболическое уравнение
- •§ 11. Устойчивость плоской волны в нелинейной среде
- •§ 12. Солитоны
- •§ 13. Самофокусировка и самоканализация
- •Глава III. Нелинейные восприимчивости
- •§14. Нелинейная связь между поляризацией и электрическим полем
- •§15. Классификация нелинейно-оптических эффектов
- •§16. Модель ангармонического осциллятора
- •§17. Общая теория нелинейных восприимчивостей для произвольной квантовомеханической системы
- •Глава IV. Нелинейные волновые взаимодействия
- •§18. Генерация оптических гармоник
- •§19. Пространственный синхронизм
- •§20. Резонансная генерация третьей гармоники
- •§21. Методы создания фазового согласования
- •22. Параметрические взаимодействия
- •§23. Вынужденное рассеяние мандельштама-бриллюэна (врмб)
- •Глава V. Фотоионизация лазерным излучением
- •§ 24. Трехступеньчатая фотоионизация в сильном лазерном поле
- •§ 25. Кинетические уравнения при фотоионизации оптически тонкого слоя.
- •§ 26. Метод матрицы плотности для фотоионизации.
- •§ 27. Макроскопический дипольный момент
- •§ 28. Однофотонные, ступеньчатые и двухфотонные процессы
- •§ 29.Уравнение для матрицы плотности в энергетическом
- •§ 30. Модель двухуровневой системы для фотоионизации
- •§ 31. Модель трехуровневой системы для фотоионизации
- •Постулаты класической механики
- •Постулаты нерелятивисткой квантовой механики
- •3.Уравнениие движения
- •4.Правило нахождения Гамильтониана
- •5.Постулат тождественности
§ 9. Нелинейная геометрическая оптика
В нелинейном изотропном диэлектрике без поглощения плоская световая волна имеет постоянное направление распространения и амплитуду в каждой точке пространства и описывается известным выражением
(9.1)
Волновой
вектор
и частота
связаны между собой дисперсионным
уравнением
,
(9.2)
где
диэлектрическая проницаемость
зависит от амплитуды
.
Произвольные световые волны этими свойствами не обладают. Однако некоторые волны на каждом небольшом участке пространства и в малом интервале времени можно рассматривать как плоские и монохроматические. Если электрическое поле в такой световой волне записать в виде
(9.3)
то,
очевидно, необходимо соблюсти условие,
при котором амплитуда
и фаза
как функции координат и времени почти
не изменялись бы на расстояниях порядка
длины волны и в интервалах времени
порядка периода колебаний света. Изучение
законов распространения света в таких
условиях составляет предмет нелинейной
геометрической оптики.
На малых участках пространства и в малых интервалах времени фаза - почти линейная функция координат и времени. Разложив в ряд с точностью до членов первого порядка малости, получим
.
Введем
определение волнового вектора и частоты
плоской волны в точке
и момент
по формулам
;
(9.4)
.
(9.5)
в соответствии с фазой плоской монохроматической волны (9.1).
В световой волне дисперсионное уравнение (9.2) можно рассматривать как функцию частоты от волнового вектора и амплитуды поля
.
(9.6)
Если подставить в (9.6) выражения (9.4) и (9.5), то получим основное уравнение нелинейной геометрической оптики, конкретный вид которого определяется диэлектрической проницаемостью. Например, в среде без пространственной и частотной дисперсии уравнение для фазы , которую называют эйконалом, имеет вид
, (9.7)
где
фазовая скорость
зависит от квадрата амплитуды поля
и, следовательно, есть функция координат
и времени. Для сред, в которых важную
роль начинают играть эффекты запаздывания
(частотная дисперсия) или явления
пространственной дисперсии, уравнение
(9.7) значительно усложняется.
Между
геометрической оптикой и механикой
материальной частицы существует
известная аналогия. Умножим уравнения
(9.4) и (9.5) на постоянную Планка
и перепишем их в иной форме, введя
обозначения
,
,
:
;
.
Первое
из них есть определение импульса частицы
через функцию действия
,
а второе уравнение Гамильтона-Якоби.
Для нахождения траектории частицы часто
используются также уравнения Гамильтона
;
,
эквивалентные уравнению Гамильтона-Якоби. Следовательно, для лучей световых волн можно написать аналогичные уравнения
; (9.8)
.
(9.9)
В линейной оптике в однородной изотропной среде лучи распространяются по прямым линиям, при этом частота остается постоянной вдоль траектории луча. В нелинейной оптике это уже не наблюдается, поскольку частота зависит от амплитуды внешнего поля согласно (9.6), и, следовательно, искривление лучей в пространстве обусловлено распределением интенсивности света.
Существенно то, что в нелинейной оптике на фазу волны влияет амплитуда поля. В прозрачной среде для описания изменения амплитуды в пространстве и во времени можно использовать закон сохранения световой энергии
. (9.10)
Это уравнение непрерывности для плотности электромагнитной энергии. Таким образом, уравнение для эйконала (9.7) и уравнение (9.10) совместно определяют ход лучей в нелинейной оптике.
Теперь рассмотрим распространение в пространстве импульса света в виде волнового пакета, близкого к плоской монохроматической волне с волновым вектором и частотой . При малых отклонения от плоской волны произвольную зависимость частоты от волнового вектора в выражении (9.6) представим в виде ряда
, (9.11)
где
- групповая скорость. Переопределим
фазу
следующим образом:
, (9.12)
где
.
Для новой фазы
уравнения (9.5) и (9.6) принимают вид
; (9.13)
. (9.14)
Представим
в последнем уравнении частоту
как ряд (9.11) по степеням
,
вместо которых подставим уравнение
(9.13). В результате получим уравнение для
фазы, которое в данном случае эквивалентно
уравнению для эйконала
.
(9.15)
Применим
изложенную выше методику к исследованию
волновых пакетов, фаза и амплитуда
которых зависит от координаты
(одномерный случай). При этом уравнение
(9.15) будет иметь вид
,
(9.16)
в
котором оставлены первые три члена ряда
(9.11) и введено обозначение для групповой
скорости
.
Уравнение (9.10) в этом приближении запишем
следующим образом:
.
(9.17)
При выводе этого уравнения использовано представление скорости
, (9.18)
где
,
и произведена замена
на
.
Далее перейдем к рассмотрению новых переменных
;
и новых обозначений
;
В результате вместо (9.16) и (9.17) получим уравнения
; (9.19)
, (9.20)
где
.
Система
уравнений (9.19, 9.20) аналогична уравнениям
одномерной гидрогазодинамики [3].
Уравнение
(9.19) эквивалентно уравнению Эйлера, где
-
скорость газа. Уравнение (9.20) есть
уравнение непрерывности для плотности
газа
.
Последний член уравнения (9.19) можно
сопоставить с силой давления в
гидродинамике
.
В
адиабатическом процессе
,
где
– скорость звука;
- равновесная плотность газа. В нелинейной
геометрической оптике
Таким
образом, уравнения (9.19) и (9.20) соответствуют
уравнениям гидродинамики с
.
Как и в гидродинамике, в нелинейной
оптике имеют место аналогичные явления
укручения огибающей волнового пакета
и формирования ударной волны.