§ 6. Уравнения максвелла для поля в среде

В классической физике электромагнитное поле описывается уравнениями Максвелла. Они определяют величину электрического и магнитного полей в пространстве и времени по заданному распределению зарядов и токов. Если среда достаточно плотная, так что среднее расстояние между частицами среды весьма мало по сравнению с характерными длинами волн, то в уравнениях Максвелла можно

перейти от микроскопических величин, определяемых в данной точке пространства, к средним значениям вблизи этих точек. Причем усреднение проводится по объемам, размеры которых заведомо превосходят межатомные, но значительно меньше длины волны. Такая процедура справедлива для оптического диапазона в конденсированных средах – жидкостях, твердых телах и плотных газах, но становится неверной в далеком ультрафиолетовом и рентгеновском диапазонах.

Уравнения Максвелла для усредненных сред имеют вид (5.2), в эти уравнения необходимо ввести дополнительное слагаемое с током

(6.1)

(6.2)

причем каждая из макроскопических величин , и является средней по малым объемам соответствующих микроскопических величин. К уже написанным уравнениям обычно добавляют два других:

, , (6.3)

которые являются следствием предыдущих, в чем можно убедиться, если учесть, что и уравнение непрерывности для плотности тока и зарядов

. (6.4)

Иногда на практике более удобной оказывается иная форма записи уравнений Максвелла. Введем вектор электрической индукции:

. (6.5)

Если подействовать оператором на левую и правую стороны уравнения (6.2) и после этого подставить в него уравнение (6.1), то с учетом последнего выражения (6.5) получим уравнение

, (6.6)

которым будем широко пользоваться в последующих главах.

Средняя плотность тока создается в среде внешними полями или проходящими через среду внешними зарядами, и вид тока определяется конкретным состоянием вещества. При прохождении электромагнитных волн через среду наведенный ток представляет собой сложную функцию электрического и магнитного полей, а также его производных по координатам и времени.

Для таких сред, как классическая плазма, электроны в металле, носители тока в полупроводниках, ток определяется посредственным движением зарядов под действием лоренцовой силы, при этом только необходимо правильно учитывать кинематику движения электронов в твердых телах (закон дисперсии). Вычисление тока в этом случае предполагает решение соответствующего кинетического уравнения.

Для диэлектриков и полупроводников без носителей тока представлять ток удобно в виде ряда по мультипольным моментам. Так как область движения локализованных электронов ограничена атомными расстояниями, то в оптическом диапазоне выражению тока через мультипольные моменты эквивалентно разложению в ряд по малому параметру .

Разложение тока по мультипольным моментам произведем следующим образом: запишем микроскопическую плотность тока

, (6.7)

где суммирование проводится по всем заряженным частицам среды. Очевидно, что возникает цепочка тождеств:

, (6.8)

где . Далее, последнее слагаемое преобразуем, используя равенства

(6.9)

С учетом (6.8) и (6.9) выражение для тока запишем так:

. (6.10)

первый член в выражении (6.10) содержит плотность дипольного момента

, (6.11)

второй член – плотность магнитодипольного момента среды

, (6.12)

третий – плотность квадрупольного момента

. (6.13)

Дипольный момент пропорционален первой степени , магнито-дипольный и квадрупольный содержат квадратичные комбинации типа и , последующие мультипольные моменты будут содержать более высокие степени для координат и скорости частиц.

Четвертый член

. (6.14)

Выделение последующих мультипольных моментов производится по аналогии с вышеизложенной процедурой.

Произведем усреднение по малым объемам вблизи точки , то есть перейдем от рассмотрения микроскопического тока к макроскопическому:

. (6.15)

Для первых трех моментов получим

; ; . (6.16)

Эти макроскопические величины являются функциями координаты . Суммирование здесь проводится по числу частиц, содержащихся в единице объема. Выражение для макроскопического тока совпадает с (6.10).

Относительно полученных усреднений моментов (6.11) – (6.13) необходимо сделать важное замечание: эти моменты определены неоднозначно и зависят от выбора определенной системы координат. Только при специальных условиях эти выражения определяют моменты однозначно. Действительно, пусть моменты определены в двух системах отсчета, радиусы-векторы в которых связаны между собой через некоторый постоянный вектор

. (6.17)

Для дипольных моментов связь будет выражена таким образом:

. (6.18)

Следовательно, дипольный момент определен однозначно лишь в том случае, когда заряд единичного объема среды равен нулю: . Для магнитодипольных моментов связь имеет вид

, (6.19)

откуда следует, что однозначное определение магнитного момента соответствует условию: , то есть в том случае, когда вклад в усредненный ток от первого члена выражения (6.10) равен нулю. Наконец, связь квадрупольных моментов описывается формулой

, (6.20)

Из которой легко заключить, что для однозначного определения квадрупольного момента необходимы условия: и . В этом случае более удобно определить квадрупольный момент как

. (6.21)

Последнее слагаемое дает нулевой вклад в ток (6.10), но поскольку сумма диагональных элементов тензора , то независимыми являются лишь два (из трех) главных значения.

В случае, когда движение валентных электронов ограничено атомными расстояниями и оптическими частотами, выражение для тока (6.10) есть разложение по малому параметру . Действительно, полагая ; в (5.10), находим:

; ; ,

где - плотность молекул конденсированного вещества.

Далее, умножая скалярно уравнение Максвелла (6.1) на величину электрического поля , а уравнение (6.2) – на и вычитая из первого второе, получим после векторных преобразований уравнение сохранения энергии

. (6.22)

Для вакуума, где ток равен нулю ( ), последнее можно записать в виде уравнения непрерывности:

, (6.23)

где поток энергии электромагнитного поля

, (6.24)

а плотность энергии

_(6.25)

Последний член в (6.22) описывает взаимодействие поля с веществом. Подчеркнем, что этот член не только показывает влияние вещества на плотность энергии в единице объема, но также приводит к изменению потока энергии. Действительно, подставим выражение для тока (6.10) в (6.22) и после простых преобразований получим уравнение типа (6.23), где поток и плотность энергии определяются формулами

,

где ; .

Таким образом, вектор Умова-Пойнтинга включает в себя магнитодипольные и квадрупольные эффекты, а плотность энергии содержит изменение энергии электромагнитного поля (6.25), а также включает работу, производимую электромагнитным полем над веществом.