§ 29.Уравнение для матрицы плотности в энергетическом

ПРЕДСТАВЛЕНИИ

В современной лазерной физике и квантовой оптике широко используется энергетическое представление [6]. В этом представлении матричные элементы определены на базисе полной ортонормированной системы функций гамильтониана , введенного ранее: ( , _n – энергетический спектр атомной системы). Диагональные элементы матрицы плотности в энергетическом представлении имеют смысл относительных населенностей уровней энергии _n. Недиагональные элементы матрицы плотности _nm характеризуют определенную степень корреляции состояний и . Вектор P макроскопического дипольного момента (см. формулу (3.3.2)) в энергетическом представлении записывается в виде суммы

P = Sp ( ) = (29.1)

Матрица плотности обладает следующими свойствами:

Sp  = 1, 0 _nn 1 _nm =  (29.2)

где звездочка означает операцию комплексного сопряжения. В чистом состоянии, когда не учитываются квантовые процессы релаксации и атомная система описывается волновой функцией, матрица плотности определяется соотношением [6]:

_nm = (29.3)

где _mn =  . Иногда удобно амплитуду вероятности переопре­делить: . Выражение (29.3) в этих обозна­чениях принимает более компактный вид _mn =  и тогда, в частности, из (29.1), следует, что . Здесь в (29.1) матрица дипольного момента считается известной для исследуемой атомной системы.

Далее перепишем уравнение для матрицы плотности в энергетическом представлении. В соответствии с ее определением ( ) уравнение (26.3) примет следующий вид:

(29.4)

где , а квадратные скобки есть коммутатор операторов и . Для диагональных элементов _nn  _n первое слагаемое в правой части (29.4) равно нулю. Второе слагаемое в левой части уравнения (29.4) описывает процессы релаксации атомной системы в некотором термостате. Обычно для практических расчетов его вводят с помощью феноменологических констант (см. напр. (26.4)). Для дальнейших расчетов в нашем случае мы будем использовать матрицу релаксационного оператора не только в виде (26.4), но также в следующем широко применяемом в теории релаксации виде (26.3):

1) для недиагональных элементов матрицы плотности _mn, m  n:

()_nm = _nm _nm (29.5)

2) для диагональных элементов матрицы плотности :

()_nn = (29.6)

Из (29.5) видно, что недиагональные элементы матрицы плотности характеризуются затуханием с постоянной затухания _nm пары уровней _n и _m. Величину называют временем фазовой памяти. (В магнитном резонансе это время характеризует спин-спиновое взаимодействие и назы­вается временем поперечной релаксации). Недиагональный элемент матрицы плотности характеризует степень корреляции и в статистическом ансамбле. Как это видно из формулы (29.3), если амплитуды a_m и a_n различ­ных систем ансамбля содержат случайную фазу, то _mn будет быстро затухать.

Из (29.6) следует, что релаксация диагональных элементов матрицы плотности есть релаксация населенностей. Коэффициенты w_nm характеризуют скорость переходов из состояния в состояние под действием термостата, роль которого могут осуществлять различные процессы: спонтанные переходы с данного уровня на нижние, упругие столкновения атомов между собой, нулевые колебания электромагнитных полей, колебания решетки в кристаллах и т.д.

Для двухуровневых систем обычно вводят время (в ядерно-магнитном резонансе его называют временем спин-решеточной релаксации, или продольной релаксации). Время T₁ описывает релаксацию населенностей в двухуровневой системе. В термодинамическом равновесии ( = ⁽⁰⁾, ) правая часть в (29.6) равна нулю. Это равенство справедливо, если принять принцип детального равновесия w_nm _m = w_mn _n.

Одним из примеров модели термостата, где w_nm вычислены [6], является электромагнитное поле в качестве термостата. В последнем случае w₂₁ = B, w₁₂ = B + A, , где A и B – коэффициенты Эйнштейна для спонтанных и вынужденных переходов,   ⁽⁰⁾(₂₁) есть спектральная плотность равновесного (теплового) излучения, определяемого формулой Планка и ⁽⁰⁾ – равновесная относительная разность населенностей.

С учетом релаксационного оператора (29.5) и (29.6) исходное уравнение для матрицы плотности в энергетическом представлении примет окончательно следующий вид:

(m  n)

(29.7)

где символ означает .

Рассмотрим далее несколько примеров взаимодействия лазерного поля с двухуровневыми и трехуровневыми системами.