§ 27. Макроскопический дипольный момент

В дальнейшем удобно перейти к представлению взаимодействия, а именно, преобразовать матрицу плотности  и оператор взаимодействия с полем E d с помощью выражений

 E d

(27.1)

к новому виду матрицы плотности R и оператору взаимодействия (среды с полем) V. Мы будем предполагать, что взаимодействие с полем включается при t  - адиабатически, т.е напряженность электрического поля берем в виде E(r, t) exp(t),  +0.

Тогда полезно ввести унитарный опертор эволюции U(r, t), связывающий матрицу плотности R(r, t) в момент времени t с равновесной матрицей плотности ₀, которая описывала состояние среды при t  -, в отсутствие оптических полей

R(r, t) = U(r, t) 0 U +(r, t) = V(r, t) U(r, t) U(r, t) = 1

(27.2)

Выражения (27.2) с учетом (27.1) полностью эквивалентны исходному уравнению (26.3). Напомним, что нормировку мы выбрали таким образом, чтобы шпуры Sp [R(r, t)] = Sp [(r, t)] представляли число всех атомов среды в единице объема, за исключением атомов целевого изотопа.

Выражение (26.2) для макроскопического дипольного момента взаимодействия принимает вид

P ( r, t) = Sp {⁰ U ⁺(r, t) U (r, t)} (27.3)

или, раскрывая шпур, получим

P(r, t) = (r, t) (r, t) (27.4)

где n, n₁ и n₂ нумеруют собственные значения и собственные векторы (квантовые состояния) гамильтониана свободного атома :  = _n , =  , =  , =  ⁰ . Для простоты полагаем, что все собственные значения оператора невырожденные – каждому _n соответствует только одно квантовое состояние . В связи с этим будем пренебрегать поляризационными эффектами и опускать знаки векторов у величин Е, P и d, полагая, что все они параллельны одной оси и Е, P и d есть их проекции на эту ось.

После преобразования Фурье по формуле типа

P (r, t) = (27.5)

из (27.4) с учетом (27.5) получим

P (k, ) =

 (27.6)

Таким образом, из (27.6) следует, что для нахождения величины P (r, t) необходимо получить выражение для матричных элементов Фурье компоненты оператора эволюции , которая определяется обратным преобразованием Фурье

= (27.7)

Решение уравнения эволюции (27.2) с учетом малого параметра (26.6) записывается в виде ряда

U(r, t) = 1+ (27.8)

В этом можно убедиться непосредственной подстановкой (27.8) в (27.2). Еще проще это увидеть, если представить дифференциальное уравнение (27.2) в интегральной форме:

U(r, t) = 1+ (27.9)

Это уравнение обладает следующим свойством: если подставить в правую часть (27.9) вместо U(r, t) под интегралом само выражение (27.9), то получаем

U(r, t) = 1+ + (27.10)

которое полностью эквивалентно (27.9). Это так называемое свойство "резольвенты". Решение в виде ряда (27.8) получается посредством таких k-подстановок и отбрасыванием (k+1) члена как малой добавки к предыдущему, имея в виду, что V ^k ~ ^k.

Общий вид матричного элемента может быть представлен, исходя из (27.1), также в виде интеграла Фурье, т.е.

= – (27.11)

Если подставить (3.3.17) в общее решение (3.3.14), то можно будет выполнить интегрирование по переменным ₁, ₂,…_k, которое сводится к интегралам типа

= (27.12)

где   0. В дальнейшем мы приведем результаты расчетов для первых членов в сумме, входящей в выражение (3.3.14).

В общем случае нетрудно увидеть, что выражение (3.3.12) Фурье компоненты P(k, ) примет вид ряда:

P(k, ) = (27.13)

где слагаемые в сумме P⁽ⁿ⁾ пропорциональны E ⁿ. Процедура получения конкретного вида слагаемых (27.13) с использованием (27.6), (27.8), (27.11) и (27.12) математически проста, но приводит к довольно громоздким выражениям, которые мы здесь не приводим (см. напр. [1,2]). Для газовых сред можно пренебречь пространственной дисперсией, т.е. воздействие лазерного излучения на частицу газа достаточно считать локальным. Однако этого нельзя сказать о временнóй дисперсии: необходимо учитывать воздействие лазерного поля на частицы газа не только в данный момент, но и во все предшествующие моменты времени. Поэтому в (27.13) можно опустить зависимость от волнового вектора k, но оставить зависимость от частоты .

С учетом всех вышеуказанных предположений для разреженного газа макроскопический дипольный момент (поляризация среды) P(t) записывается в виде ряда, аналогичного выражению (27.13):

P(t) = (27.14)

где первое слагаемое имеет вид

P⁽¹⁾(t) = ⁽¹⁾() E() exp (–it) (27.15)

Здесь E() есть амплитуда оптического поля на частоте , а ⁽¹⁾ называется линейной восприимчивостью или просто восприимчивостью первого порядка. Она связана с диэлектрической проницаемостью () соотношением: () = 1 + 4⁽¹⁾. Действительная и мнимая часть ⁽¹⁾ определяют показатель преломления среды и коэффициент затухания (поглощения) оптической волны в веществе. С квантовой точки зрения это есть однофотонное поглощение, когда атом газа из основного состояния переходит в некоторое возбужденное, поглотив один фотон с энергией . В более сложном варианте, когда надо учесть поляризацию оптических волн, амплитуда электрического поля будет вектор с компонентами E_(), где  = (x,y,z). Таким же вектором является макроскопический дипольный момент с компонентами , где также  = (x,y,z). Линейная связь между ними, аналогично выражению (27.15), осуществляется тензором  (), так что имеем

=  () E_() exp(–it) (3.3.16)

где по индексу  проводится суммирование по всем компонентам.

Для разреженного газа расчет по изложенной в параграфе схеме приводит к следующей формуле:

 () = N (27.17)

где N – концентрация (плотность) газа, и есть компоненты матрицы дипольного момента частицы (атома, молекулы, кластера и т.п.) газа, _n'n – частоты атомных переходов, а _n'n ранее определена формулой (3.3.4). В некоторых случаях, для газов она есть сумма полуширин атомных уровней _n' и _n. Поэтому следует иметь в виду, что формула (3.3.23) справедлива для относительно слабых оптических полей. Критерий оценки применимости (3.3.23) следует из вида малого параметра (3.3.6), где расстройку  надо заменить на _n'n. Далее отметим, что учет доплеровского уширения производится путем замены  на  – kv, где v – скорость частицы газа, k – волновой вектор лазерной волны, и с последующим усреднением по распределению Максвелла или равноценному ему (например, по распределению атомов в атомном пучке с введенной скоростью).

Следующее слагаемое P⁽²⁾(t) в (27.14) содержит в себе уже нелинейную зависимость от E(), в данном случае, квадратичную. Расчет приводит к результату

P⁽²⁾(t) = (27.18)

где  (₁, ₂) есть тензор третьего ранга и называется нелинейной восприимчивостью ⁽²⁾ второго порядка. Знак суммы в (27.18) подразумевает суммирование по  и  и по положительным и отрицательным значениям всех частот, участвующих в процессе взаимодействия. (Ниже, для простоты, будем опускать тензорные индексы.) Например, если в некотором эксперименте через среду проходит одна волна на частоте ₁, то будет образовываться волна на частоте  = 2₁ (вторая гармоника), за которую ответственна восприимчивость ⁽²⁾(₁, ₁), а также ⁽²⁾(₁, –₁), которая ответственна за генерацию постоянного поля (эффект выпрямления). Для двух волн, первоначально входящих в газовую (и любую другую, относительно прозрачную среду с эффективной нелинейной восприимчивостью ⁽²⁾) будут помимо гармоник и постоянных полей возникать волны на комбинационных частотах, как это и отражено фазовым фактором в (27.18). За комбинационные частоты ответственны восприимчивости ⁽²⁾(₁, ₂) и ⁽²⁾(₁, –₂), т.е. на суммарных и разностных частотах.

Следует указать, что нелинейные восприимчивости ⁽²⁾ в однородной газовой среде чрезвычайно малы. Поэтому мы не будем выписывать тензоры (см. например [4]). Более важной является кубическая нелинейная восприимчивость  , которая входит в коэффициентом пропор­циональ­ности, характерной для кубичной нелинейной зависимости:

= (27.19)

где по дважды повторяющимся индексам справа (т.е. по ,  и ) также производится суммирование.

Нелинейная восприимчивость третьего порядка ответственна за процессы взаимодействия четырех волн или, иными словами, за четырехволновое смешение (ЧС): ₄ = ₁₂_3.3. Эти процессы легко наблюдаются во всех средах – газах, жидкостях, твердых телах и плазме и находят широкое применение. Например, для реконструкции волнового фронта, в когерентных перестраиваемых лазерах в ИК и УФ диапазонах, в лазерной спектроскопии. ЧС оказывает существенное влияние на многофотонную фотоионизацию и поэтому его учет весьма важен для процессов лазерного разделения изотопов. Важным частным случаем ЧС является вырожденное ЧС, когда все четыре волны имеют одинаковые часто­ты, которое описывается с помощью ⁽³⁾(, –, +). Последняя также ответ­ственна за самофокусировку лазерных лучей, динамический Штарк-эффект, двухфотонное поглощение и ряд других нелинейно-оптических процессов.

В результате расчета по изложенной выше схеме решения основного уравнения матрицы плотности (3.3.3) можно получить для довольно громоздкую формулу [2]. Ограничимся для наглядности одним примером. За генерацию третьей гармоники ответственна нелинейная восприимчивость  (, , ), т.е когда ₁ = ₂ = ₃ =. Возьмем все лучи с одинаковой линейной поляризацией, т.е  =  =  =  = x (или y, или z). Теоретический расчет дает величину [2] (ради простоты индексы хххх опущены):

⁽³⁾(, , ) = N (27.20)

где

An'n''n''' = –[(3 – n'n) (2 – n''n) ( – n'''n)]-1 + + [( + n'n) (2 – n''n) ( – n'''n)]-1 – – [( + n'n) (2 + n''n) ( – n'''n)]-1 + + [( + n'n) (2 + n''n) ( + n'''n)]-1

(27.20)

Учет резонансов для низких интенсивностей излучения сводится к замене в (27.20) _ml  _ml +i _ml.

Для большинства атомов матричные элементы неизвестны. Некоторое исключение составляют атомы щелочных металлов. В частности, величина |⁽³⁾(, , )| была рассчитана по формуле (27.20) для атомов натрия [2]. При концентрации атомов N = 10¹⁷ см^‑3 и интенсивности лазерного пучка 1 ГВт/см² наведенный макроскопический дипольный момент |P⁽³⁾| = |⁽³⁾EEE| может составить 10^-6 esu (гауссовых единиц), что сравнимо с характерными значениями квадратичной нелинейной поляризации |P⁽²⁾| в твердых телах. Однако проще измерить ⁽³⁾, чем с достаточной точностью рассчитать по (27.20).

Резкое увеличение ⁽³⁾ по (27.20) произойдет в резонансном случае. Очевидно из (27.20), что резонансы на   _n'''n, 2  _n''n, 3  _n'n приводят к эффективному росту ⁽³⁾. Однако только резонанс на второй гармонике 2  _n'''n наиболее важен, поскольку на других резонансах существенно поглощение на основной частоте и на третьей гармонике. Кроме того, двухфо­тонное поглощение на удвоенном резонансе можно подавить комбинацион­ным когерентным процессом: рождающаяся третья гармоника преобразуется в основную волну с поглощением энергии 2 . (Более подробно см. [5])