§ 2. Классический гармонический осциллятор

В классической физике состояние системы считается заданным, если в фиксированный момент времени определены все обобщенные импульсы р и координаты q. Эволюция такой системы описывается каноническими уравнениями Гамильтона:

(2.1)

где есть функция Гамильтона (для простоты рассматривается одномерный случай). Любая измеримая на опыте величина есть функция состояния системы , и её зависимость от времени определяется уравнением [19]:

(2.2)

где фигурные скобки есть скобки Пуассона, определяемые выражением

(2.3)

Функция Гамильтона для гармонического осциллятора с массой m=1 и собственной частотой описывается квадратичной формой:

(2.4)

В этом случае уравнения Гамильтона (2.1) преобразуются к виду

(2.5)

комбинируя которые получаем уравнения отдельно для обобщенных координаты и импульса

(2.6)

Их общие решения имеют вид гармонических функций:

(2.7)

где фаза , а есть начальная фаза осциллятора. Амплитуду колебаний А можно выразить через полную энергию Е. Подставив (2.7) в (2.4), получим

(2.8)

Фазовая траектория гармонического осциллятора имеет вид окружности радиуса A c центром в начале координат в плоскости переменных p и ωq (рис. 1). Положение системы задается точкой на этой окружности в каждый момент времени. Эта точка равномерно вращается по окружности с угловой скоростью ω против часовой стрелки. Фаза осциллятора характеризуется углом поворота радиус-вектора окружности на угол .

Перейдём от динамических переменных и к новым каноническим переменным и , которые связаны с динамическими переменными линейными преобразованиями и представляют собой следующие комплексно сопряженные величины:

(2.9)

где звёздочка означает операцию комплексного сопряжения, т.е. замену .

В новых переменных функция Гамильтона (2.4) примет следующий вид

(2.10)

которое получено путём подстановки в (2.4) переменных и , выраженных явно из (2.9). При этом не применялось правило перестановки алгебраических сомножителей. Поэтому (2.10) можно применить в дальнейшем для операторов (см. § 1.2). Учитывая, что оба слагаемых в (2.10) для алгебраических величин равны между собой, запишем H в простой квадратичной форме:

(2.11)

Напомним, что при переходе от переменных и к новым переменным и , связь производных определяется формулами типа:

пользуясь которыми можно представить уравнения Гамильтона в новых переменных для произвольного вида функции Гамильтона в виде

(2.12)

Подставляя в (2.12) функцию Гамильтона одномерного гармонического осциллятора в новых переменных (2.11) после дифференцирования получаем уравнения движения, эквивалентные (2.5):

(2.13)

В их справедливости, а также в их решении можно убедиться и непосредственно подстановкой общего решения для p и q в виде (2.7) в формулы (2.9) с последующим дифференцированием по времени t. Общее решение уравнений (2.13) выражается в этом случае через экспоненциальные функции:

(2.14)

где . Заметим также, что канонические уравнения Гамильтона (2.1) отличаются от уравнений (2.13) присутствием в последних мнимой единицы. Этот факт несущественен, так как заменой её можно исключить из уравнений (2.13), после чего они для переменных и приобретают канонический вид (2.1). Однако разделение динамических переменных на координату и импульс теряет свой первоначальный смысл в виду их сложения в соотношениях преобразования к новым динамическим переменным (2.9). Поэтому, более удобно, и в настоящее время общепринято, исходить из уравнений (2.13).