Глава IV. Нелинейные волновые взаимодействия
§18. Генерация оптических гармоник
В настоящее время широкое применение в технике и в научных исследованиях нашли процессы генерации оптических гармоник, преобразование частоты вверх и параметрическая генерация света. В этом параграфе изложена генерация второй гармоники для одномерного случая. Детальное освещение данного вопроса можно найти в монографии [14].
Итак,
пусть взаимодействующие монохроматические
волны движутся в одном направлении так,
что для каждой волны электрическое поле
есть функция одной координаты:
.
Положим, что все волны имеют одинаковую
поляризацию, причем поле перпендикулярно
направлению распространения. Это условие
легко выполняется в изотропных средах
и кубических кристаллах, однако оно не
столь существенно и принято лишь с целью
упрощения формул. В одномерном случае
уравнение для поля запишется в виде
,
(18.1)
где “штрих” – производная по z; “ точка ” – производная по времени.
Общее выражение для монохроматических взаимодействующих полей представляется суммой
(18.2)
Для
слаболинейных сред можно предполагать
медленное изменение амплитуды на длине
волны
.
Если анализ ограничить лишь тремя
волнами, для которых
,
то из (18.1) и (18.2) можно получить укороченную
систему уравнений
;
;
.
(18.3)
Здесь
,
причем (18.3) справедливо и для поглощающей
среды. Для плоской волны
,
а вектор Пойнтинга
(18.4)
Из
(18.3) и (18.4) для прозрачной среды, где
,
выводятся соотношения:
;
;
.
Эти
соотношения в теории параметрического
усиления (первые интегралы системы
(18.3)), которые на языке квантовой физики
означают, что изменение интенсивности
трехволнового взаимодействия происходит
за счет преобразования одного кванта
в два
и
.
Из общей системы (18.3) также следует, что
,
то есть это соответствует закону
сохранения энергии взаимодействующих
полей.
Аналогичная укороченная система уравнений выводится для процесса генерации второй гармоники
;
(18.6)
,
(18.7)
где
;
;
.
Перейдем
к приближению заданного
поля. В ряде
случаев преобразование во вторую
гармонику невелико:
.
Тогда можно считать поле основной волны
заданным, равным входному
.
Однако не обязательно считать функцию
медленно меняющейся. Если оставить и
вторые производные, то (18.6) можно заменить
уравнением
,
(18.8)
которое имеет решение в виде двух слагаемых – свободная волна (решение однородного уравнения) и вынужденная.
Таким образом, электрическое поле для второй гармоники примет вид
,
(18.9)
где
(18.10)
Отсюда
видно, что амплитуда вынужденной волны
(18.10) имеет сложную резонансную зависимость
(см. гл. III).
На длине
происходит рассогласование фаз свободной
и вынужденной волны. Эту длину называют
когерентной.
Для нулевых граничных условий с (
при
)
получим
.
В этом случае интенсивность второй гармоники
,
(18.11)
где
,
.
В прозрачной среде
,
таким образом, приходим к широко
известному в нелинейной оптике результату:
.
(18.12)
Видно,
что при
преобразование достигает максимума и
равно
.
Если
,
то можно исходить непосредственно их
укороченного уравнения (18.6) или из
(18.12) с учетом (18.9). Тогда получим
,
(18.13)
где
.
Обычно для определения мощности второй
гармоники используют формулу, которую
в приближении заданного поля основного
излучения записывают с учетом (18.4) в
следующем виде
,
(18.14)
где
– длина волны основного излучения;
,
- длина образца,
и
- показатели преломления волн частоты
и
,
.